kvantemekanik

Stationære tilstande

Bølgemønstre for fx elektroners bevægelse omkring protonen i et hydrogenatom vil vise elektronernes mulige stationære tilstande. Kravet om entydighed og stationære bølger kan kun opfyldes for bestemte værdier af atomets energi. Den stationære tilstand med den laveste energi og det mest enkle bølgemønster er atomets grundtilstand; de øvrige er anslåede (exciterede) tilstande. Skal energien ændres, må det ske ved, at atomet får tilført eller frataget et kvantum energi, som er lig med forskellen i energi mellem to stationære tilstande. Det er denne udvælgelse af bestemte energier, kaldet kvantisering, som har givet navn til kvantemekanikken.

© Peter Gabriel Photo/John Fowlie

Kvantemekanik. Ifølge kvantemekanikken kan man ikke måle en partikels position og hastighed samtidig. Kan det alligevel tænkes, at partiklen har en bestemt position og en bestemt hastighed, der blot er umålelige? Spørgsmålet fik aktualitet med det såkaldte EPR-tanke-eksperiment (fremsat 1935 af Einstein, B. Podolsky og N. Rosen). Her betragtede man to partikler, der vekselvirker og derefter adskilles. Hvis ikke hver af partiklerne tillægges bestemte positioner og hastigheder, forudsiger kvantemekanikken, at en måling på den ene partikel påvirker den andens tilstand med det samme, uanset hvor langt væk de er fra hinanden. Denne "spøgelsesagtige fjernvirkning", der udbreder sig hurtigere end lyset og dermed tilsyneladende bryder med relativitetsteorien, fik Einstein til at konkludere, at kvantemekanikken var ufuldstændig: Den kan ikke beskrive alle aspekter af virkeligheden (den samtidig eksisterende hastighed og position af en partikel).

I naturen kan atomer udveksle energi med den omgivende verden gennem lys. Det sker ved, at atomet springer fra én kvantetilstand til en anden, hvorved et lyskvant udsendes eller absorberes. Et hydrogenatom, som er bragt i en anslået tilstand, fx af en forbipasserende elektrisk ladet partikel, vil udsende lyskvanter, indtil det til sidst befinder sig i grundtilstanden.

Bølgemønstrene minder om stående svingninger i en streng på et musikinstrument, og de kvantiserede energier svarer i dette billede til grundtonen og de forskellige overtoner. Bølgetoppene og bølgedalene angiver de områder af rummet, hvor der er stor sandsynlighed for at finde elektronen, mens man ikke kan finde den i knudepunkterne; bølgefunktionens kvadrat angiver sandsynlighedsfordelingen.

I en stationær tilstand er det umuligt at forudsige, hvor på bølgetoppene eller i bølgedalene elektronen befinder sig. Efter samme princip kan man ikke på forhånd bestemme det præcise tidspunkt for udsendelsen af et lyskvant fra en given anslået tilstand eller med hvilken energi, lyskvantet kommer ud, hvis der er flere mulige sluttilstande efter udsendelsen.

Denne brug af sandsynlighedsbegrebet ændrede radikalt ved fysikkens verdensbillede, hvor antagelsen om streng kausalitet, dvs. en entydig sammenhæng mellem årsag og virkning, har været et ubrydeligt princip indtil kvantemekanikkens fremkomst.

Dynamiske tilstande

Ved at overlejre stationære tilstande kan man danne dynamiske kvantetilstande, hvori bølgemønstret flytter sig med tiden. En partikel, der bevæger sig i et potential, som lokalt kun afhænger svagt af stedet, har i modsætning til elektronen i hydrogenatomet et jævnt bølgemønster med langstrakte bølgetoppe og veldefineret bølgelængde. Bølgelængden λ er knyttet til partiklens impuls p gennem de Broglie-relationen λ = h/p, hvor h er Plancks konstant.

Heisenbergs ubestemthedsrelation

© Niels Bohr Arkivet/Martin Heisenberg

Kvantemekanik. Mange af de fysikere, der var med til at udvikle kvantemekanikken i 1920'erne, var meget unge; man talte om Bohrs børnehave. Heisenbergs artikel Über quantentheoretischen Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen fra 1925, da han var 23, markerer skellet mellem den gamle kvantemekanik baseret på Bohrs korrespondensprincip suppleret med systematisk gætning og den nye, logisk sammenhængende teori, som den kendes i dag. Heisenberg har selv givet et indblik i tilblivelsen: På Helgoland var der et øjeblik, hvor det kom til mig som en inspiration, da jeg så, at energien er konstant i tiden. Jeg regnede det møjsommeligt ud, og det passede. Så gik jeg op på en klippe og så solopgangen og var lykkelig. Fotografi fra 1927.

Sandsynlighedsfortolkningen af kvantefysikkens bølgefunktion kommer tydeligt til udtryk i Heisenbergs ubestemthedsrelation, hvorefter det er umuligt at bestemme en partikels impuls og sted på samme tid med vilkårlig stor nøjagtighed. Produktet Δx∙Δp af de middelusikkerheder Δx og Δp, hvormed man i et eksperiment kan bestemme en partikels sted x og impuls p, kan ikke blive mindre end Plancks konstant. For en makroskopisk partikel er ubestemthederne forsvindende små i forhold til partiklens udstrækning og hastighed. Derfor kommer kvantemekanikken ikke til at røbe sig i iagttagelsen af en makroskopisk partikels bevægelser; dens dynamik beskrives af den klassiske mekanik.

Kvantemekanik for mange partikler

I beskrivelsen af mange partikler bundet til hinanden som fx elektroner i et atom eller protoner og neutroner i en atomkerne antager kvantetilstandene en mere abstrakt karakter. Schrödingerligningen omfatter nu alle partiklers koordinater, og bølgefunktionen afhænger af alle disse koordinater på én gang. For partikelantal større end ca. ti er det umuligt selv med hurtige computere med stor lagerkapacitet at løse Schrödingerligningen i alle koordinater. Det er nødvendigt at vurdere, hvad der er mest afgørende for partiklernes bevægelse i det samlede system, og derefter opstille tilnærmede bølgefunktioner, som leder til enklere beregninger.

For elektroners bevægelse i atomer er det ofte en god tilnærmelse at antage, at den enkelte elektron bevæger sig uafhængigt af de øvrige i det elektriske felt, som dannes af kernen i centrum kombineret med elektronernes fordeling i rummet. Antagelsen om uafhængig bevægelse udmøntes i en bølgefunktion, som er et produkt af bølgemønstre for én elektron ad gangen.

Yderligere skal nu elektronernes spin og det forhold, at de er identiske, tages i betragtning. Da elektronerne er identiske og har spin ¹/₂, er de fermioner og skal adlyde Pauliprincippet, hvorefter to fermioner ikke kan være i samme kvantetilstand. Bølgemønstrene for de kvantetilstande, hvori elektronerne befinder sig i deres uafhængige bevægelse, fås da ved at løse et sæt Hartree-Fock-ligninger (se Hartree-Fock-approksimation).

Kvantemekanikkens historie

Der er tre højdepunkter i udviklingen af kvantemekanikken: Plancks strålingslov fra 1900, Niels Bohrs atomteori fra 1913 og Werner Heisenbergs og Erwin Schrödingers matrix- og bølgemekanik fra 1925-26 (se atom).

Kvanteteorien fra 1913-25 betegnes ofte "den gamle kvantemekanik". Niels Bohr havde i 1913 indført stationære tilstande som et alment begreb. For at finde de stationære tilstande måtte man i den gamle kvantemekanik løse den klassiske mekaniks bevægelsesligninger. Kvantiseringen bestod i udvælgelse af specielle periodiske eller næsten periodiske baner for den klassiske bevægelse. For atomer med flere elektroner viste det sig uoverkommeligt at beregne disse baner og finde de tilhørende kvantiserede energier. En bogstavelig opfattelse af elektronernes bevægelse som punktformede partikler langs bestemte baner er i konflikt med atomernes almene egenskaber, specielt deres opførsel i krystaller og kemiske forbindelser.

Løsningen på dette og mange andre problemer fremkom i de frugtbare gennembrudsår for den egentlige kvantemekanik 1925-29. I 1925 opdagede Heisenberg, at fysiske størrelser i kvanteteori i almindelighed ikke kan ombyttes, dvs. X gange Y er forskellig fra Y gange X i lighed med, hvad der i matematik gælder for regning med matricer. Dette fulgte af en omhyggelig analyse af frekvenserne af lyskvanter udsendt ved kvantespring. I 1926 udviklede Schrödinger bølgemekanikken baseret på Louis de Broglies hypotese om partiklers bølgeegenskaber fra 1923. Schrödinger tog også de første skridt til at vise, at matrixmekanik og bølgemekanik er to ligeværdige måder at anskue den samme underliggende fysik på.

Schrödinger, og med ham Albert Einstein og mange andre fysikere, håbede, at introduktionen af bølgefunktionen nu ville genindføre en streng årsag-virkning-sammenhæng i al fysik og specielt gøre ende på idéen om kvantespring mellem stationære tilstande. Det viste sig dog snart at være umuligt at opretholde Schrödingers oprindelige idé om bølgefunktionen som en klassisk ladningstæthed. Forståelsen af bølgefunktionens intensitet som en tæthed i sandsynlighed for at finde partiklen blev formuleret af Max Born i 1926 (se også københavnerfortolkningen). Ubestemthedsrelationerne, som knytter sig til disse sandsynligheder, blev udledt af Heisenberg i 1927.

En bølgeligning for elektroner, som er i overensstemmelse med den specielle relativitetsteori, og som omfatter elektronernes spin, blev udledt af Paul A.M. Dirac i 1928. For at få både spin og relativitet med måtte elektrontilstanden have fire komponenter, spin-op og spin-ned med positiv energi og yderligere spin-op og spin-ned med negativ energi. De negative energitilstande svarer til positivt ladede elektroner med positiv energi, dvs. en forudsigelse af antipartiklen til elektronen. Denne antipartikel, positronen, blev først opdaget i eksperimenter flere år senere.

Grundlaget for en beskrivelse af lyskvanter, fotoner, og deres udsendelse og absorption fra atomer og andre systemer blev også lagt 1925-29. En helt modsigelsesfri beskrivelse af det kvantiserede elektrodynamiske felt, kvanteelektrodynamikken (QED), blev først formuleret i slutningen af 1940'erne. Ifølge QED kan fotoner ikke blot optræde som uafhængige partikler, der mellem udsendelse og absorption bevæger sig frit mellem atomer; de optræder også forbundet med ladede partikler, eller de kan udveksles mellem dem uden mulighed for selv at løsrive sig. Denne spillen bold med fotoner er kvanteelektrodynamikkens billede af de elektriske kræfter mellem to ladede partikler.

© Niels Bohr Institutet

Kvantemekanik. Nogle af kvantemekanikkens pionerer samlet til møde i 1930 på Institut for Teoretisk Fysik (Niels Bohr Institutet) i København. Truthorn, legetøjskanon m.m. opstillet på det forreste bord kan muligvis henføres til den utrættelige spøgefugl George Gamow. Auditoriet med de umagelige træbænke er stadig (1996) i brug på instituttet. Første række fra venstre: Oscar Klein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, George Gamow, Lev D. Landau, Hans A. Kramers; anden række: Ivar Waller, Piet Hein, Rudolf Peierls, Walter Heitler, Felix Bloch, Tatiana Ehrenfest, Walter Colby, Edward Teller; tredje række: ?, Christian Møller, Mogens Pihl, ?.

Kvanteelektrodynamikken er prototypen på de feltteorier, der danner grundlaget for partikelfysikkens beskrivelse af naturkræfterne. QED suppleres med Glashow-Salam-Weinberg-teorien for de svage kernekræfter og kvantekromodynamikken (QCD) for de stærke. Der arbejdes fortsat intenst mod en afklaring af, hvordan gravitationskraften kan inkluderes i kvantefysikken i overensstemmelse med den almene relativitetsteori.

Sideløbende med de store teoretiske skridt har kvantemekanikken dannet basis for forståelsen af en rigdom af konkrete observationer i fysik og kemi. Det gælder fysiske systemer med store forskelle i energi og udstrækning helt fra kvantefeltteoriens domæne i elementarpartikelfysikken over atomkerner til atomer, molekyler og faste stoffer.

Værktøjet

Mens diskussionen om kvantemekanikkens fortolkning har tiltrukket sig betydelig offentlig opmærksomhed, ikke mindst i sidste del af 1990'erne, er kvantemekanikken for de fleste fysikere primært et uundværligt arbejdsredskab, der daglig må tages i anvendelse. Som værktøj har kvantemekanikken for længst bestået sin prøve. Den er i stand til at redegøre for de fineste detaljer i atomernes spektre; et eksempel er det ganske lille Lamb-skift (se W.E. Lamb) i hydrogenatomet, der skyldes elektronens vekselvirkning med det kvantiserede elektromagnetiske felt. Den målte værdi af den tilhørende frekvens er 1057,90 ± 0,06 MHz, mens den kvantemekaniske beregning giver 1057,91 MHz.

Kvantemekanikkens begrænsninger — set fra et anvendelsesmæssigt synspunkt — er betinget af systemernes kompleksitet. Når kvantemekanikken anvendes i beskrivelsen af faste stoffer, hvor atomerne sidder ordnede i et regelmæssigt periodisk gitter, giver den forklaringen på, hvorfor fx aluminium er elektrisk ledende, mens silicium er en halvleder. Selvom kompleksiteten af et system bestående af 10²³ atomer (antallet af atomer i ca. 1 g stof) tilsyneladende er overvældende, giver den rumlige symmetri — i dette tilfælde det periodiske atomgitter — mulighed for en simpel beskrivelse af elektronernes bevægelse. Symmetrien bevirker, at de kvantiserede energier for en elektrons bevægelse klumper sig sammen i bestemte intervaller med gab imellem. I krystallinske stoffer betegnes dette som båndstruktur, der har sit modstykke i den skalstruktur, der kendetegner atomer og atomkerner.

Når kvantemekanikken anvendes i kerne- og partikelfysikken, i atom- og molekylfysikken eller i faste stoffers fysik, er det af afgørende betydning at udnytte de symmetrier, der karakteriserer de pågældende fysiske systemer. Ikke blot fordi beregningsarbejdet derved lettes, men også pga. den begrebsmæssige forenkling, som anvendelsen af symmetribetragtninger indebærer. Hertil kommer, at der igennem det meste af 1900-t. er udviklet en lang række metoder til tilnærmede løsninger af det kvantemekaniske bevægelsesproblem under betingelser, hvor partiklernes indbyrdes vekselvirkning er vigtig. Ved udstrakt brug af computere er det herved blevet muligt at anvende kvantemekanikken på systemer, der tidligere pga. deres kompleksitet måtte anses for at være helt uden for teoriens rækkevidde.

I mange af kvantemekanikkens anvendelser er også den statistiske fysik inddraget. Den statistiske mekanik blev udviklet i slutningen af 1800-t. med henblik på beskrivelsen af fortyndede luftarters egenskaber. Men det var først med kvanteteoriens fremkomst, at der blev skabt et egentligt grundlag for anvendelsen af den statistiske mekaniks metoder. Det er netop forekomsten af diskrete energiniveauer, der gør det muligt at tælle antallet af måder, hvorpå en given makroskopisk tilstand kan tænkes fremkommet. Herved fik begrebet entropi et mikroskopisk grundlag, samtidig med at det blev muligt at anvende kvantemekanikken til at forklare, hvorledes stoffernes egenskaber afhænger af temperaturen.