Mandelbrotmængden

© Christian Henriksen

Mandelbrotmængden. Det er karakteristisk for mange fraktaler, at de indeholder delmængder, der ligner hele fraktalen. Her en detalje af Mandelbrotmængden, som viser en deformeret kopi af hele mængden inden i sig selv.

Mandelbrotmængden, (efter B. Mandelbrot), matematisk struktur i den komplekse plan af betydning i teorien for dynamiske systemer og fraktaler. Mandelbrotmængden er knyttet til iteration af polynomier på formen z²+c. Den består af de komplekse c-værdier, for hvilke den itererede følge af punkter 0, c, c²+c, (c²+c)²+c, ... ligger helt inden for eller på cirklen med centrum i 0 og radius 2. Det er derfor simpelt at generere computerbilleder af Mandelbrotmængden. Randen af Mandelbrotmængden er en fraktal; den har Hausdorff-dimension 2, men topologisk dimension 1. Mandelbrotmængden kan desuden karakteriseres som mængden af de c-værdier, for hvilke den tilhørende Julia-mængde er sammenhængende. Randen af Mandelbrotmængden er bifurkationsmængden for de iterative dynamiske systemer bestemt af z²+c, dvs. at dynamikken og Julia-mængden kun ændres kvalitativt, når c-værdien passerer randen. I mange familier af holomorfe funktioner genfinder man kopier af Mandelbrotmængden, specielt findes der kopier af den inden i den selv, i mere eller mindre deformeret form.