Riemannflade

© Møllers-Grafisk Tegnestue/Hans Møller

Riemannflade. Nogle Riemannflader kan dannes ved at identificere sider i en polygon parvist. Øverst ses således en torus, en flade af genus 1 (dvs. med én hank), der er opnået ved at identificere modstående sider i et kvadrat med hinanden (rød med rød osv.), og nederst en flade af genus 2, opnået ved at identificere sider af samme farver i en ottekant. Figurerne viser også, hvordan fladerne er relateret til hhv. en brolægning af planen med kvadrater, der er kongruente i euklidisk geometri, og en brolægning af enhedscirkelskiven med ottekanter, der er kongruente i hyperbolsk geometri.

Riemannflade, (efter Bernhard Riemann), matematisk begreb inden for kompleks analyse. Riemannflader blev oprindelig indført af Riemann i 1851 i forbindelse med funktionsundersøgelser af flertydige komplekse funktioner. Kvadratrodsfunktionen f (z) =  er fx dobbelttydig, idet der til ethvert komplekst tal z forskelligt fra 0 findes to komplekse løsninger w til ligningen w² = z. Kvadratrodsfunktionens Riemannflade består af alle de komplekse talpar (z,w), der tilfredsstiller w² = z. Betragtet som en funktion af z på fladen bliver kvadratrodsfunktionen entydig.

Begrebet Riemannflade er siden udvidet til at betegne en vilkårlig endimensional kompleks mangfoldighed, dvs. en todimensional reel mangfoldighed, der lokalt kan parametriseres ved én kompleks parameter. Store dele af teorien for Riemannflader bygger på resultater bevist omkring 1907 af den tyske matematiker Paul Koebe (1882-1945), F. Klein og H. Poincaré. For det første blev det vist, at enhver enkeltsammenhængende Riemannflade kan afbildes énentydigt ved en konform afbildning på enten planen, Riemannkuglen eller enhedscirkelskiven. De tre muligheder svarer til hhv. euklidisk, elliptisk og hyperbolsk geometri. For det andet blev det vist, at enhver orienteret Riemannflade kan opnås ud fra disse tre.