Riemanns zetafunktion

Riemanns zetafunktion, (efter Bernhard Riemann), i matematik funktionen

defineret for tal z > 1 eller mere almindeligt for komplekse tal z = x + iy med realdel x > 1. Studiet af funktionen går tilbage til L. Euler, der viste produktfremstillingen
hvor der optræder en faktor for hvert primtal. Funktionen er et vigtigt hjælpemiddel i teorien for fordelingen af primtal, og Euler benyttede den til at vise, at summen af de reciprokke primtal er uendelig. Euler fandt også zetafunktionens værdier i de lige tal, fx ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90; i den almene formel indgår Bernoulli-tallene.

Riemann beviste i en berømt afhandling fra 1859, at zetafunktionen kan fortsættes analytisk til en meromorf funktion i hele den komplekse plan med en simpel pol i z = 1. Riemanns formodning fra samme afhandling går ud på, at nulpunkterne z = x + iy for zetafunktionen i den højre halvplan x ≥ 0 alle ligger på linjen x = ¹/₂. Efter Riemanns død har bidrag fra en række matematikere gjort formodningen overordentlig sandsynlig, og den betragtes som matematikkens berømteste uløste problem, efter at Fermats store sætning er bevist.