Taylors formel

Taylors formel, (efter B. Taylor), matematisk formel for en funktions tilvækst udtrykt ved dens differentialkvotienter. Formlen kan skrives

Taylor publicerede den i 1715, men lignende resultater var kendt af bl.a. Leibniz og Johann Bernoulli. Ingen af dem diskuterede konvergensen af den uendelige række, som nu kaldes funktionens Taylorrække i punktet a. I en moderne fremstilling viser man, at hvis f er n gange differentiabel på et interval I, og hvis a,a+h ∈ I, så gælder f (a+h) = P_n(h)+R_n(h), hvor P_n er et polynomium af grad ≤ n−1 i h, nemlig summen af Taylorrækkens n første led, og R_n er et restled, der kan angives på forskellig måde. Lagrange viste i 1797, at der findes et tal t ∈ ]0,1[ så

For n = 1 reduceres Taylors formel med Lagranges restled til middelværdisætningen. Polynomiet P_n kaldes Taylorpolynomiet af grad n−1 og er det entydigt bestemte polynomium p af grad ≤ n−1, som opfylder p^(k)(a) = f^(k)(a) for k = 0,1, ... ,n−1 (se interpolation).

Hvis funktionen er vilkårligt ofte differentiabel, og hvis restleddet konvergerer mod 0, når n går mod uendelig, så gælder Taylors formel.