distributionsteori

distributionsteori, matematisk teori om generaliserede funktioner; udviklet af L. Schwartz i 1940'erne og publiceret i bogform 1950-51. Distributionsteorien tillader, at man taler om differentialkvotienten af funktioner, der ikke er differentiable i klassisk forstand. Med den herved opnåede generalisation af differentiabilitetsbegrebet har distributionsteorien revolutioneret den moderne differentialligningsteori.

I distributionsteorien har O. Heavisides symbolske kalkyle og Diracs deltafunktion δ(x) fået en matematisk stringent indførelse. Diracs definition af δ som en funktion, der er 0 for x ≠ 0 og ∞ for x = 0 på en sådan måde, at ∫δ(x)dx = 1, er matematisk uden mening, men Dirac benyttede δ i kvantemekanikken. Også Fourieranalyse har fået en afrundet form med udnyttelse af distributionsteori.

En distribution er en kompleks funktion T(φ) defineret på rummet af vilkårligt ofte differentiable funktioner, som er nul uden for et begrænset interval. Desuden kræves, at T er lineær og har en bestemt kontinuitetsegenskab. Begrebet omfatter alle kontinuerte funktioner og endda alle funktioner f, der er Lebesgue-integrable over ethvert endeligt interval. Dette opnås ved at tilordne distributionen T_f (φ) = ∫φ(x)f(x)dx til en sådan funktion. Ved differentialkvotienten af en distribution T forstås distributionen T ′ defineret ved T ′(φ) = −T(φ′). For en kontinuert differentiabel funktion f er differentialkvotienten af distributionen T_f lig med distributionen tilordnet f ′. Diracs deltafunktion er distributionen φ↷φ(0).