• Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

eksponentialfunktion

Oprindelig forfatter CBer Seneste forfatter Redaktionen

Eksponentialfunktion. Eksempler på forløb af eksponentialfunktionen y = ax for a = e, 1, 12.

Eksponentialfunktion. Eksempler på forløb af eksponentialfunktionen y = ax for a = e, 1, 12.

eksponentialfunktion, matematisk funktion af formen ax, hvor den uafhængige variabel x optræder som eksponent, og a er en positiv konstant kaldet grundtallet. Eksponentialfunktionen er defineret ved

56708.401.jpg

Eksponentialfunktionen kan defineres for et vilkårligt reelt tal x på en sådan måde, at den er en kontinuert funktion.

Der gælder de vigtige regneregler ax+y = axay og (ax)y = axy, hvoraf følger, at a−x = (1/a)x = 1/ax og 56708.301.jpg

for n = 2,3,... .

Den naturlige eksponentialfunktion exp fremkommer, når grundtallet a er lig med tallet e. Der gælder rækkefremstillingen56708.402.jpg

Den omvendte funktion til ex er den naturlige logaritme ln(x) = loge(x). Ved hjælp af denne kan alle eksponentialfunktioner udtrykkes ved den naturlige eksponentialfunktion, idet der gælder ax = exln(a) for a > 0 og vilkårligt x.

Funktionen f(x) = exp(kx) er løsning til differentialligningen y ′ = ky med begyndelsesbetingelse y(0) = 1. Dermed beskriver f en eksponentiel vækst, hvor væksthastigheden er proportional med den øjeblikkelige størrelse. En eksponentiel vækst f, hvor den øjeblikkelige størrelse fordobles over et fast tidsrum T (fordoblingstiden), er fastlagt ved k = ln(2)/T.

Ved ovenfor viste rækkeudvikling kan eksponentialfunktionen defineres for komplekst x, hvorved den bliver en holomorf funktion, se Eulers formel.