integralregning

© Dette billede må du ...

 

integralregning, matematisk kalkyle, som Leibniz udviklede i 1675 til bl.a. at bestemme arealer. Newton havde 1665-66 udviklet lignende idéer (se differentialregning (historie)). Leibniz opfattede arealet under kurven cde (se figur) som en sum af infinitesimale rektangler med højde y og "uendelig lille" grundlinje dx og indførte skrivemåden for denne sum. Han opdagede, at differentiation og integration er omvendte operationer, hvad vi nu udtrykker ved differential- og integralregningens hovedsætning. Derfor gik Johann Bernoulli i begyndelsen af 1700-t. over til at definere integration som det omvendte af differentiation. Denne definition holdt, indtil A.L. Cauchy i 1823 definerede integralet af en funktion f på et interval [a, b] vha. middelsummen

hvor a = x₀ < x₁ < x₂ <∙∙∙ < x_n = b er en inddeling af [a,b] og t_i ∈ [x_i-1,x_i]. Cauchy, der satte t_i = x_i-1, viste, at middelsummen for en kontinuert funktion konvergerer mod et fast tal, når inddelingen bliver finere og finere, og han definerede så det bestemte integral til at være dette tal. I 1854 generaliserede B. Riemann Cauchys definition ved at anvende den på alle de funktioner, hvor middelsummen konvergerer (de såkaldte Riemann-integrable funktioner).

Ofte benyttes betegnelsen for en vilkårlig stamfunktion F til f, dvs. en funktion F, for hvilken den afledede F ′ er lig med f; den er kun bestemt på nær en additiv konstant. Differential- og integralregningens hovedsætning siger da, at 1) er en stamfunktion til f, og 2) hvis F er en vilkårlig stamfunktion til f, kan man beregne det bestemte integral vha. reglen:

Integration (eller stamfunktionsbestemmelse) er i modsætning til differentiation en kunst, men man kommer langt med følgende to regler:

Integration ved substitution:

Partiel integration:

Der findes computerprogrammer, der kan integrere elementære funktioner, hvis de har elementære stamfunktioner. Imidlertid findes der elementære funktioner, fx e^x/x, der ikke har elementære stamfunktioner. Hvis man ønsker at integrere sådanne funktioner, må man ty til numeriske metoder.