metamatematik

metamatematik, (dannet i analogi til Aristoteles' metafysik, se meta-), filosofiske overvejelser, der har matematik og matematiske teorier som genstand. Metamatematik bruges både bredt om forhold, der vedrører undervisningen i matematik, matematiks anvendelser, hvor andre muligheder findes, fx matematisk økonomi i modsætning til sprogligt formuleret, og matematiks rolle i kulturen, og snævert om logiske betragtninger, der gør de matematiske teorier til genstand for overvejelserne. I sidstnævnte tilfælde taler man om en metateori, der udsiger sætninger om en objektteori.

Betragter man en teori, der som genstand for sine sætninger har objekter som fx tal, kan sætningerne i teorien være sande på to måder: En sætning er beviselig, hvis den kan udledes af aksiomerne ved den givne logiske kalkule, altså ved logisk slutning. Men en sætning kan også være sand, hvis sætningens påstand gælder i enhver model, der også opfylder aksiomerne. I så fald kaldes sætningen semantisk sand. Det er en metateoretisk kendsgerning, at alle logisk sande sætninger også er semantisk sande. Derimod har K. Gödel bevist, at i en teori, der er mindst så omfattende som teorien for de naturlige tal, findes semantisk sande sætninger, som ikke kan udledes af aksiomerne ved logiske slutninger.

Se også bevisteori og matematik (filosofi og grundlag).