mængde

mængde, i matematik en veldefineret samling af objekter (kaldet mængdens elementer), der opfattes som en helhed. Fx kan en ret linje opfattes som mængden af punkter på linjen. Definitionen skyldes mængdelærens grundlægger, G. Cantor (ca. 1880).

Mængden M af objekter med egenskaben E betegnes M = {x|x har egenskaben E}. Den lodrette streg læses "for hvilke det gælder, at". At a er element i M, skrives a∈M ("a tilhører M"), og a∉M ("a tilhører ikke M") betyder, at a ikke er element i M. En mængdes elementer kan i sig selv være mængder, i vilkårligt mange niveauer. En mængde kan, foruden at være tom (symboliseret ved ∅), have et endeligt såvel som uendeligt antal elementer, fx mængden af heltal hhv. reelle tal; se kardinaltal.

Denne såkaldt naive mængdedefinition viste sig hurtigt at skulle anvendes med forsigtighed, idet den kan give anledning til selvmodsigelser, paradokser. Dette demonstrerede B. Russell i 1902 med Russells paradoks: Han betragtede mængden M = {x|x∉x}, altså mængden, hvis elementer er samtlige objekter, der ikke er mængder med sig selv som element. Denne mængde må enten være element i sig selv eller ikke, men ifølge definitionen opfylder den M∉M, hvis M∈M, og M∈M, hvis M∉M. For at undgå sådanne selvmodsigelser opbygges mængdebegrebet i dag aksiomatisk, se mængdelære.

Mængdebegrebet har vist sig overordentlig frugtbart i udviklingen af den abstrakte matematik i 1900-t. Det har også med mindre åbenlys succes været benyttet i skolernes matematikundervisning.