mængdelære

Aksiomatisering

For at præcisere det fælles grundlag for al matematik, der herved muliggøres, må mængdelæren opbygges vha. intuitivt naturlige aksiomer, som er nødvendige for at gennemføre generelt accepterede matematiske beviser, og som ikke tillader det naive mængdebegrebs selvmodsigelser. Dette projekt begyndte med den tyske matematiker E. Zermelos (1871-1953) aksiomsystem og blev suppleret af den tysk-israelske matematiker A. Fraenkel (1891-1965) i 1920'erne; siden er der ikke foreslået seriøse kandidater til nye aksiomer.

Det mest benyttede aksiomsystem er Zermelo-Fraenkel-systemet med udvalgsaksiomet. Det indeholder et aksiom, som sikrer, at to mængder er ens, hvis de har samme elementer, samt aksiomer, der for hver mængde M sikrer eksistensen af foreningsmængden bestående af alle elementer i elementer i M og potensmængden bestående af alle delmængder af M. Den naive mængdelæres uhæmmede mulighed for at danne mængder med en egenskab E reduceres til, at det er tilladt for hver mængde M og hver egenskab E at danne delmængden af M bestående af samtlige elementer i M med egenskaben E, idet det præciseres, hvorledes udsagn, der definerer E, må opbygges. Endvidere sikres eksistensen af uendelige mængder som de naturlige tal af et uendelighedsaksiom. Fraenkels bidrag til aksiomsystemet består af et substitutionsaksiom, der gør det muligt at danne en mængde B ud fra en mængde A ved entydigt at definere, hvorledes hvert af As elementer skal erstattes af en anden mængde. Udvalgsaksiomet var oprindelig meget omstridt, men betragtes efterhånden som harmløst og uundværligt.

K. Gödel viste, at man ikke kan gøre sig håb om at opstille aksiomsystemer, der er fuldstændige eller kan vises at være modsigelsesfrie. Selvom man tilsyneladende undgår paradokser, kan man altså ikke være sikker. Hvad fuldstændigheden angår, kendes en lang række spørgsmål, om hvilke man kan bevise, at de ikke kan afgøres med de hidtil accepterede aksiomer. Kendtest er kontinuumshypotesen, men der findes mange lignende uafgørlige problemer i fx matematisk analyse. Der kendes mange muligheder for at tilføje yderligere uendelighedsaksiomer, som sikrer eksistensen af nye, "meget store" mængder. Sådanne aksiomer følger med sikkerhed ikke af de hidtil accepterede aksiomer, men man risikerer, at de strider imod dem.