permutationsgruppe

permutationsgruppe, i matematik en gruppe, hvis elementer alle er permutationer af en mængde M. Når man har to permutationer (omordninger) af en mængde, kan man danne deres produkt ved først at udføre den ene omordning og derefter udføre den anden på resultatet. Med dette produkt danner permutationerne af M en gruppe P(M), som kaldes den symmetriske gruppe på M. Enhver permutationsgruppe på M vil så være en undergruppe af gruppen P(M).

Det kan være lettere at forestille sig en permutationsgruppe end en abstrakt gruppe. Permutationerne giver også bedre muligheder for konkrete manipulationer med gruppens elementer, hvilket er en afgørende fordel ved computerberegninger. Når grupper dukker op i anvendelser, fx i fysik, er de oftest på naturlig måde også permutationsgrupper. Er de ikke, kan det være en fordel at forsøge at realisere dem som permutationsgrupper ved at konstruere en gruppeisomorfi. Cayleys sætning siger, at enhver abstrakt gruppe faktisk kan realiseres som en permutationsgruppe.

Teorien for permutationsgrupper opstod i slutningen af 1700-t. længe før den abstrakte gruppeteori, og den er også i vore dage et selvstændigt og frugtbart område af gruppeteorien. Specielle klasser, fx af såkaldte transitive og primitive grupper, spiller en væsentlig rolle.