polynomium

polynomium, (lat., af poly- og afledn. af lat. nomen i bet. 'led, term'; undertiden sat i forbindelse med gr. nome 'fordeling'), i matematik et udtryk, der er en sum af flere led, oftest led af formen axⁱ. Symbolet x kaldes den variable, tallet a kaldes leddets koefficient, og eksponenten i kaldes leddets grad. Idet leddene ordnes efter grad, får det almindelige polynomium formen
f (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ ∙∙∙ +a₁x+a₀.
Nulpolynomiet er det polynomium, hvis koefficienter alle er nul. For alle andre polynomier defineres graden som den største grad af leddene a_ixⁱ med a_i ≠ 0.

Et polynomium f (x) bestemmer en funktion, idet værdien f (t) svarende til et tal t fremkommer ved at erstatte den variable x med t. Hvis f (t) = 0, siges t at være en rod eller et nulpunkt. Fx har polynomiet f (x) = x³−2x²−x+2 grad 3 og rødderne t = −1,1,2. I almindelighed er antallet af rødder højst lig med polynomiets grad. Alle reelle polynomier af ulige grad har en reel rod; algebraens fundamentalsætning udsiger, at ethvert polynomium af positiv grad har en rod blandt de komplekse tal.

Et polynomium f (x) har tallet t som rod, hvis og kun hvis der findes en fremstilling af f (x) som et produkt, f (x) = (x−t)g(x), hvor den ene faktor er førstegradspolynomiet x−t. Når f (x) har grad n ≥ 1, følger det af algebraens fundamentalsætning, at der findes en fremstilling f (x) = a(x−t₁) ∙∙∙ (x−t_n), hvor t₁, ... ,t_n er de komplekse rødder i f (x). Hvis en faktor x−t_i her forekommer mindst to gange, siges t_i at være multipel rod i f (x).