primtal

Verificeret
Artiklens indhold er godkendt af redaktionen.

Indholdsfortegnelse

primtal, helt tal større end 1, der ikke er deleligt med andre hele positive tal end 1 og tallet selv. De første primtal er 2, 3, 5, 7, 11, ... . Da ethvert helt tal entydigt kan skrives som et produkt af primtal (se primfaktor), kan primtallene opfattes som de multiplikative byggesten for de naturlige tal. Et helt, positivt tal, der ikke er et primtal, kaldes sammensat.

Primtallene har lige siden oldtiden været genstand for matematikeres interesse. Euklid viste således, at der findes uendelig mange primtal, og Eratosthenes angav en metode til bestemmelse af samtlige primtal (Eratosthenes' si).

Primtal spiller en stor rolle i talteori, og især store primtal har vist sig at have vigtige anvendelser inden for bl.a. kodningsteori og kryptologi. Det største kendte primtal (2013) er 257.885.161−1, der skrevet i titalssystemet har flere end 17 mio. cifre.

1. led i ordet primtal kommer af latin primus 'første'.

Ved metoder fra den analytiske talteori viste P.L. Dirichlet, at enhver differensrække a,a+d,a+2d, ... indeholder uendelig mange primtal, såfremt a og d er indbyrdes primiske hele tal. Det er et berømt uløst problem, om der findes uendelig mange primtalstvillinger (tal a og a+2, der begge er primtal).

Et ofte rejst, lidt upræcist spørgsmål er, om der findes en "formel" for det n'te primtal. Hvis man kender primtallene på forhånd, kan man konstruere en formel, men sådanne formler er uden praktisk interesse. L. Euler fandt i 1772 polynomiet x2x+41, der for alle 80 heltallige værdier af x mellem −39 og 40 giver et primtal. Det kan imidlertid vises, at der ikke findes et polynomium i én variabel med heltalskoefficienter, der for alle heltallige værdier af den variable giver et primtal. Et interessant resultat er, at der findes et polynomium f (x1, ... ,x26) i 26 variable med heltalskoefficienter med den egenskab, at et naturligt tal h er et primtal, netop når der findes hele, ikke-negative tal h1, ... ,h26, så h = f (h1, ... ,h26).

Primtalsfordeling

Primtallene er ikke fordelt jævnt i rækken af hele tal. Der findes fx vilkårligt store gab i rækken af primtal: For ethvert naturligt tal N findes der N på hinanden følgende tal, som alle er sammensatte. Et præcist mål for fordelingen af primtal kan man få ved at studere funktionen π(x), der angiver antallet af primtal mindre end eller lig med det reelle tal x. På grundlag af primtalstabeller nåede A.M. Legendre frem til, at funktionen x/ln x, hvor ln x angiver den naturlige logaritme, er en god tilnærmelse til π(x), mens C.F. Gauss fandt, at den såkaldte integrallogaritme Li(x) = 56612.301.jpg udgør en bedre tilnærmelse. Vha. teorien for analytiske funktioner beviste J. Hadamard og C. de la Vallée Poussin i 1896 uafhængigt af hinanden den berømte primtalssætning, at π(x) asymptotisk er lig med både x/ln x og Li(x), dvs. at kvotienterne π(x)ln x/x og π(x)/Li(x) har grænseværdien 1 for x→∞. Det indebærer bl.a., at det n'te primtal er asymptotisk lig med n∙ln n.

Ved beviset af primtalssætningen spiller Riemanns zetafunktion, der studeres i kompleks analyse, en vigtig rolle; specielt at denne funktion ikke er nul i punkterne 1+iy, yR, i den komplekse plan. Den såkaldte Riemanns formodning vedrørende zetafunktionens nulpunkter er tæt forbundet med de nærmere undersøgelser af afvigelsen af π(x) fra dens asymptotiske værdi Li(x). Således er Riemanns formodning ækvivalent med eksistensen af en konstant C, så at |π(x)−Li(x)| ≤ 56612.302.jpg.

I 1949 gav A. Selberg og P. Erdős uafhængigt af hinanden beviser for primtalssætningen, der er elementære i den forstand, at kompleks analyse ikke anvendes.

Vind tre bøger i Den Store Danskes quiz.

Gå til quiz.

 

Find bøger

   
   Find Lydbøger
hos Storytel
   Find bøger
bogpriser.dk
   Studiebøger
pensum.dk
   Læs e-bøger
hos Ready

 

Hvad er et tag? Tags er artiklens nøgleord. Artikler med et fælles tag findes ved at klikke på tagget. Når du er logget ind, kan du tilføje tags og dermed skabe sammenhænge.
Nyhedsbrev

Om artiklen

Seneste forfatter
Redaktionen
06/02/2013
Oprindelig forfatter
CUJe
01/02/2009

© Gyldendal 2009-2014 - Powered by MindTouch Deki