Schrödingerligningen

Schrödingerligningen, kvantemekanikkens fundamentale bølgeligning, hvis tilhørende bølgefunktion beskriver bevægelsen af en partikel, som påvirkes af ydre kræfter. Schrödingerligningen spiller dermed en rolle i kvantemekanikken, der er parallel til den klassiske mekaniks bevægelsesligninger.

Schrödingerligningen er en partiel differentialligning af anden orden i stedkoordinaterne og af første orden i tiden. Den indeholder enheden i for de imaginære tal, og dens løsning, bølgefunktionen, bliver derfor i almindelighed en kompleks funktion af tiden og stedet, karakteriseret fx ved en numerisk værdi og en fasefaktor. Ligningen er lineær, således at de tilhørende bølgefunktioner kan overlejres og dermed frembringe interferenseffekter, fx i form af såkaldte bølgepakker. Schrödingerligningens koefficienter indeholder Plancks konstant og den betragtede partikels masse og potentielle energi. I fysiske systemer med bundne tilstande som fx en harmonisk oscillator (se mekanik (svingninger)) eller hydrogenatomet har Schrödingerligningen løsninger for bestemte, diskrete energiværdier. I systemer med ubundne tilstande optræder kontinuerte energispektre.

Den kvantemekaniske bølgefunktion fortolkes statistisk. Sandsynligheden for at finde fx en elektron på et bestemt sted i hydrogenatomet er proportional med den numeriske værdi af bølgefunktionen opløftet til anden potens, dvs. bølgefunktionens absolutkvadrat. Den kvantemekaniske bølgefunktion skal være normeret, således at den totale sandsynlighed for at finde elektronen et eller andet sted i atomet bliver lig 1. Er systemets bølgefunktion fastlagt, kan den forventede værdi af alle dets fysiske observable beregnes, fx partiklens impuls og energi. I sig selv kan den kvantemekaniske bølgefunktion ikke tillægges fysisk betydning modsat fx den klassiske elektromagnetiske bølgefunktion, der er løsning til Maxwell-ligningerne.

Schrödinger opstillede også en bølgeligning for partikler, der bevæger sig med hastigheder nær lysets, men denne relativistiske ligning beskrev kun partikler uden spin. I 1928 kunne P.A.M. Dirac imidlertid opstille en mere kompliceret, relativistisk bølgeligning, som også inkluderede spinnet.

Schrödingers formulering af bølgemekanikken er ækvivalent med den matrixmekanik, som i 1925 blev formuleret af W. Heisenberg, men i praksis er Schrödingerligningen ofte enklere at bruge. Schrödingerligningen kan udvides til at gælde for systemer med mere end en partikel.