Hilbertrum

Hilbertrum er et vektorrum \(H\) udstyret med et skalarprodukt (ofte kaldet det indre produkt) \(\langle \cdot, \cdot \rangle\), således at \(H\) med normen defineret ved \(||x|| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) er et Banachrum. Hilbertrum og studiet af operatorer på disse spiller en væsentlig rolle inden for funktionalanalysen og ligger i fysikken til grund for den matematiske teori for kvantemekanikken.

Studiet af Hilbertrum begyndte med visse problemer inden for integralligninger. I den forbindelse betragtede D. Hilbert en uendelig-dimensional generalisering af de euklidiske rum bestående af alle reelle talfølger \(\boldsymbol{x} = (x_n)\), for hvilke \(\sum^\infty_{n=1} x^2_n\) er endelig, med skalarproduktet \(\langle x, y\rangle = \sum^\infty_{n=1} x_n y_n\). Et andet Hilbertrum, studeret af F. Riesz, er rummet af kvadratisk integrable funktioner \(f \ : \ \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{C}\). Den abstrakte definition af Hilbertrum blev først givet af J. von Neumann i 1929 som led i hans banebrydende forskning i kvantemekanikkens matematiske grundlag. Han studerede kontinuerte lineære operatorer på Hilbertrum og skabte dermed grundlaget for bl.a. operatoralgebra.

En række begreber i teorien for Hilbertrum henter deres navne fra de euklidiske rum. Således kaldes to elementer \(x,y \in H\) for indbyrdes ortogonale, hvis \(\langle x, y \rangle = 0\) Pythagoras' sætning siger, at \(||x+y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2\), hvis \(x\) og \(y\) er ortogonale. En delmængde \(S\) af \(H\) kaldes et ortogonalt system, hvis alle elementer i \(S\) er indbyrdes ortogonale; har elementerne desuden norm 1, kaldes \(S\) et ortonormalt system. Hvis \(S=(x_i)\) er et givet ortonormalt system i \(H\), så gælder Bessels ulighed \(||x||^2 \geq \sum_i |\langle x, x_i\rangle|^2\) for alle \(x\in H\).

Et maksimalt ortonormalt system kaldes fuldstændigt eller en basis for \(H\). I så fald (og kun da) gælder lighedstegnet i Bessels ulighed for alle \(x\in H\). Den betegnes da Parsevals identitet. Alle ortonormale baser for \(H\) har samme kardinaltal, som kaldes dimensionen af \(H\). Det følger af Parsevals identitet, at Hilbertrum af samme dimension er isometrisk isomorfe. For et endelig-dimensionalt Hilbertrum kan Gram-Schmidt ortogonalisering benyttes til at konstruere en ortonormal basis.