harmonisk funktion

Harmonisk funktion betegner en løsning til Laplaces differentialligning \(\Delta h = 0 \). En reel funktion \(h\) af \(n\) reelle variable er harmonisk i sit definitionsområde \(G\) tilhørende talrummet \(\mathbb{R}^n\), hvis\[\frac{\partial^2 h}{\partial x^2_1} + \dots \frac{\partial^2 h}{\partial x^2_n} = 0\]

i hele \(G\). En harmonisk funktion er reelt analytisk og har den karakteristiske egenskab, at værdien i et punkt \(x\) altid er lig med middelværdien af funktionens værdier over en vilkårlig kugleflade med centrum i \(x\) og indeholdt i \(G\).

En harmonisk funktion af én variabel er det samme som en affin funktion, dvs. en funktion, hvis graf er en ret linje. En harmonisk funktion af to variable er i det væsentlige det samme som realdelen af en holomorf funktion. En kuglefunktion i \(\mathbb{R}^n\) er et homogent polynomium af \(n\) variable, som tillige er en harmonisk funktion. Harmoniske funktioner spiller en vigtig rolle i potentialteori.