integralteori

Integralteori betegner en matematisk teori, der inkluderer den klassiske integralregning, og som er udviklet i begyndelsen af 1900-t. af især den franske matematiker H. Lebesgue. Med Riemanns definition af integralet af en funktion \(f \ : \ [a,b] \rightarrow [c,d]\) som grænseværdi for middelsummer blev det muligt at integrere en mere omfattende klasse af funktioner end de kontinuerte, men klassen af Riemann-integrable funktioner viste sig ikke velegnet i en række problemer. Det er fx vigtigt at kunne ombytte operationerne grænseovergang og integration, men med Riemanns definition er det umuligt at finde optimale resultater i den retning. Problemet løstes i H. Lebesgues disputats fra 1902, Intégrale, longueur, aire, hvor det påpegedes, at man bør definere integralet af \(f\) som grænseværdi af "Lebesgue-middelsummer" af formen \(\sum^n_{i=1} s_1m_1\), hvor \(m_i\) er den samlede længde af mængden \(E_i =\{x \ | \ y_{i-1} < f(x) \leq y_i\}\), \(c=y_0<y_1<\dots < y_n = d\) er en inddeling af intervallet af funktionsværdier, og \(y_{i-1} \leq s_i \leq y_i\). Grænseværdien opnås, når inddelingen gøres finere og finere. En teknisk vanskelighed er begrebet "den samlede længde" af en evt. kompliceret delmængde af intervallet \([a,b]\), og her støttede Lebesgue sig på É. Borels længdebegreb (målbegreb) for Borel-mængder. Den opnåede klasse af Lebesgue-integrable funktioner er større end klassen af Riemann-integrable funktioner og har vist sig at være fundamental i mange områder af matematikken.

Lebesgue forklarede selv forskellen på sin egen og Riemanns måde at udregne integralet på ved følgende billede: En købmand, der skal gøre pengekassen op, kan lægge sammen mønt for mønt uden system, eller han kan samle enkroner, tokroner osv. i bunker, tælle antallet af mønter i hver bunke og derved regne beholdningen ud. Den første metode svarer til Riemann-middelsummen, den anden til Lebesgue-middelsummen. De to metoder giver samme resultat for kontinuerte funktioner i analogi med, at købmanden får samme facit uanset metoden (hvis han tæller rigtigt), men for mere komplicerede funktioner er det Lebesgues systematiske metode, der giver det mest anvendelige resultat. Lebesgue beviste hovedsætningerne, at grænseovergang og integration kan ombyttes ved monoton konvergens og ved majoriseret konvergens.

I 1894 introducerede T.J. Stieltjes (1856-1894) integralet \(\int f d\phi\) af en kontinuert funktion \(f\) med hensyn til en vilkårlig voksende funktion \(\phi\) som grænseværdi for tallene\[\sum^n_{i=1} f(t_i)(\phi (x_i)-\phi (x_{i-1})).\] De er analoge til Riemann-middelsummer, blot er længden af delintervallet \(]x_{i-1}, x_i]\) erstattet af størrelsen \(\phi(x_i) – \phi(x_{i-1})\), som man kan tænke på som intervallets masse ved en massefordeling fastlagt ved den voksende funktion \(\phi\). Den sædvanlige Riemann-sum fremkommer, når \(\phi (x) = x\). I 1909 påviste F. Riesz, at man med Stieltjes' integraler kan beskrive samtlige kontinuerte lineære funktionaler på rummet af kontinuerte funktioner på intervallet \([a,b]\), et nøgleresultat i funktionalanalyse.

Den østrigske matematiker J. Radon (1887-1956) og franskmanden M. Fréchet (1878-1973) påpegede i hhv. 1913 og 1915, at det afgørende for at kunne opbygge en tilfredsstillende integralteori for funktioner defineret på en mængde \(X\) i stil med Lebesgues og Stieltjes' er eksistensen af et mål \(\mu\) på \(X\), se målteori. Integralet \(\int f d\mu\) defineres som grænseværdien af summer af formen \(\sum^n_{i=1} s_i \mu (E_i)\), hvor \(s_i\) og \(E_i\) er som ovenfor. Grænseværdien eksisterer for en klasse af funktioner, som kaldes \(\mu\)-integrable, og integralet er en lineær funktional på rummet \(L^1(X,\mu)\) af \(\mu\)-integrable funktioner \(f \ : \ X \rightarrow \mathbb{R}\).

Den abstrakte formulering af integralteorien gør det muligt at inkludere teorien for uendelige rækker og en del af sandsynlighedsregningen som specialtilfælde.