Kontinuert funktion er et matematisk begreb. Intuitivt er en reel funktion \(y = f(x)\) af en reel variabel kontinuert, hvis en lille ændring i \(x\) kun fører til en lille ændring i \(y\). Geometrisk formuleret betyder kontinuitet, at funktionens graf er en sammenhængende kurve. Begrebet kan præciseres ved hjælp af grænseværdi: Funktionen \(f\) er kontinuert i punktet \(x_0\), som kaldes et kontinuitetspunkt for \(f\), hvis \[\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).\] Funktionen kaldes dernæst kontinuert, hvis den er kontinuert i alle punkter i definitionsmængden. Hvis funktionen ikke er kontinuert, kaldes den diskontinuert. At \(x_0\) er et kontinuitetspunkt kan også udtrykkes ved konvergens på følgende måde: For enhver talfølge \(x_n\), som konvergerer mod \(x_0\), skal følgen af funktionsværdier \(f(x_n)\) konvergere mod \(f(x_0)\).

Først med Weierstrass' forelæsninger i anden halvdel af 1800-t. nåede kontinuitetsbegrebet en præcision, som vi i dag finder tilfredsstillende. Hans definition på kontinuitet i \(x_0\) lyder: Til hvert \(\epsilon > 0\) skal der findes \(\delta = \delta(x_0) > 0\), så der for alle \(x\) med \(|x-x_0| < \delta\) gælder \(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\).

Funktionen kaldes uniformt kontinuert (ligeligt kontinuert), hvis \(\delta = \delta(x_0)\) kan vælges uafhængigt af \(x_0\) i definitionsmængden. Funktionen \(y=x^2\) defineret for alle reelle \(x\) er kontinuert uden at være uniformt kontinuert.

Definitionerne lader sig umiddelbart overføre til afbildninger \(f \ : \ M \rightarrow N\) mellem to metriske rum \(M\) og \(N\). Kontinuitet kan karakteriseres ved systemerne af åbne mængder i de metriske rum på følgende måde: For enhver åben mængde \(G\) i \(N\) er \(f^1(G)\) åben i \(M\). Denne karakterisering har stor teoretisk betydning og tillader også studiet af kontinuitet i topologiske rum.

Weierstrass viste i 1861 hovedsætningen om kontinuerte funktioner \(f \ : \ [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\). Sætningen siger, at \(f\)'s billedmængde er et afsluttet, begrænset interval; specielt har funktionen en største og en mindste værdi. Den tyske matematiker E. Heine (1821-1881) indførte begrebet uniformt kontinuert funktion og viste i 1872, at en kontinuert funktion på et afsluttet, begrænset interval er uniformt kontinuert.

Ampère hævdede, at enhver kontinuert funktion er differentiabel på nær i få punkter. Det var derfor overraskende, at Weierstrass ved hjælp af sin præcise definition i 1872 kunne konstruere en kontinuert funktion af en reel variabel, som ikke er differentiabel i noget punkt.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig