matrix (matematisk begreb)

Matrix er i matematik et rektangulært skema af tal. Hvis matricens tal står i \(m\) vandrette rækker og \(n\) lodrette søjler, taler man om en \(m\times n\)-matrix. Rækkerne nummereres fra oven og nedefter, mens søjlerne nummereres fra venstre mod højre. Tallet i den \(i\)'te række og \(j\)'te søjle betegnes med et bogstav med to indices \(ij\), fx \(a_{ij}\), og matricen skrives så \(A=(a_{ij})\). En matrix med lige mange rækker og søjler, dvs. \(m=n\), kaldes kvadratisk. Diagonalen i en kvadratisk matrix består af elementerne med \(i=j\). For to matricer \(A\) og \(B\) med samme rækkeantal og samme søjleantal defineres summen \(A+B\) ved, at man adderer tallene på tilsvarende pladser. Derimod defineres produktet \(AB\) kun, hvis \(A\) har samme antal søjler, som \(B\) har rækker. Hvis \(A=(a_{ij})\) er en \(m\times n\)-matrix, og \(B=(b_{ij})\) er en \(n\times p\)-matrix, er \(AB\) den \(m\times p\)-matrix \((c_{ij})\), der er defineret ved \[ c_{ij} = \sum^n_{k=1} a_{ik} b_{kj}.\] I almindelighed er \(AB \neq BA\).

Matrixregning er tæt forbundet til lineær algebra, hvor det bl.a. vises, at der til enhver matrix hører en lineær afbildning og omvendt. Matrixproduktet svarer til sammensætning af lineære afbildninger.

Mængden af \(n\times n\)-matricer af reelle eller komplekse tal udstyret med de ovenfor definerede regneoperationer udgør en ikke-kommutativ ring, når \(n > 1\). Ringens etelement er den matrix \(I\), der har ettaller i diagonalen og nuller på de øvrige pladser. En \(n\times n\)-matrix \(A\) kaldes invertibel, hvis der findes en matrix \(A^{-1}\) (kaldet den inverse til \(A\)) så \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\). Der gælder, at \(A\) er invertibel, netop hvis determinanten af \(A\) er forskellig fra \(0\), og i determinantteorien gives en formel for den inverse matrix.

Et system af \(n\) lineære ligninger med \(n\) ubekendte kan skrives \(Ax = b\), hvor \(x\) og \(b\) er \(n\times 1\)-matricer, også kaldet søjlevektorer. Når \(A\) er invertibel, har systemet en entydig løsning \(x=A^{-1}b\).

Ombyttes rækker og søjler i matricen \(A\), fås den transponerede matrix \(A^\top\), hvis \(ij\)'te element er elementet \(a_{ij}\) fra \(A\). Matricen \(A\) kaldes symmetrisk, hvis \(A=A^\top\). En reel invertibel matrix \(A\) kaldes ortogonal, hvis \(A^{-1}=A^\top\). De ortogonale matricer er netop matricerne for de lineære isometrier af et euklidisk rum med hensyn til en ortonormal basis.

Selvom determinantteorien i moderne formulering forudsætter begrebet matrix, er den langt ældre end matrixregningen, der først blev udviklet midt i 1800-t. af A. Cayley. Navnet matrix skyldes J.J. Sylvester i 1850.