næsten-periodisk funktion

Næsten-periodisk funktion er et matematisk begreb indført af Harald Bohr i en række afhandlinger 1924-26. Studiet af Riemanns zetafunktion førte Bohr til at betragte de funktioner \(f \ : \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\), som kan approksimeres uniformt med trigonometriske polynomier af formen \[\sum^n_{k=1} c_k e^{i\lambda_k x}, \, c_k \in \mathbb{C}, \lambda_k \in \mathbb{R}.\]

Hvis frekvenserne \(\lambda_k\) er hele tal, leder det ovenstående approksimationsproblem til klassen af kontinuerte periodiske funktioner med periode \(2\pi\), jf. Fourieranalyse. Når frekvenserne \(\lambda_k\) er vilkårlige reelle tal, fører problemet til en større klasse af kontinuerte funktioner, som Bohr karakteriserede ved en kvalitativ egenskab kaldet næsten-periodicitet. Han beviste, at en næsten-periodisk funktion \(f\) har en middelværdi \[M(f) = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^T_0 f(x)dx,\] og udnyttede denne til at definere en generaliseret Fourierrække for funktionen. Bohr generaliserede også hovedsætningerne for Fourierrækker til næsten-periodiske funktioner.