Plant snit i Cylinderflade
Figuren viser en ellipse fremkommet ved et skråt plant snit i en ret cirkulær cylinderflade. Storaksen er linjestykket \(AB\). Ellipsens to brændpunkter \(F_1\)og \(F_2\) er markeret på storaksen.
\(a\) og \(b\) er henholdsvis den halve storakse og lilleakse.
Ellipsens excentricitet \(e\) er bestemt af vinklen \(0<u<\pi/2\) hvorunder snitplanen skærer cylinderfladen. Der gælder \( e=\cos u\), og dermed \(0<e<1\).
Plant snit i Cylinderflade
Licens: CC BY SA 3.0
Ellipse
I figuren er brændpunkterne \(F_1\) og \(F_2\) for ellipsen indtegnet.
Tallet \(a\) er den halve storakse, \(b\) er den halve lilleakse, og \(e\)er excentriciteten for ellipsen.
For alle punkter \(P\) på ellipsen gælder om summen af afstandene fra \(P\) til \(F_1\) og \(F_2\), at \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\).
Ellipse
Licens: CC BY SA 3.0

En ellipse er den lukkede kurve form der ses i randkurven for et skråt plant snit gennem en ret, cirkulær kegle- eller cylinderflade. Sammen med parablen og hyperblen udgør ellipsen de såkaldte keglesnit. Graden af ellipsens fladtrykthed måles ved et tal \(e\), excentriciteten, der ligger i intervallet \(0 < e < 1\).

Faktaboks

Etymologi
Ordet ellipse kommer af græsk elleipsis 'mangel, udeladelse', af elleipein 'udelade'.

Ellipsen har to symmetriakser, storaksen og lilleaksen; og to brændpunkter, \(F_1\) og \(F_2\), der ligger på storaksen.

Ellipsen er det geometriske sted for de punkter \(P\) i planen, hvor summen af afstandene fra \(P\) til \(F_1\) og \(F_2\) er konstant lig længden af storaksen. Hvis ellipsens halve storakse har størrelsen \(a\) består ellipsen altså netop af de punkter \(P\) i planen, for hvilke \[\vert PF_1\vert + \vert PF_2\vert =2a . \]

Hvis den halve storakse og den halve lilleakse henholdsvis har størrelsen \(a\) og \(b\), er excentriciteten givet ved formlen \[e=\sqrt{1-\tfrac{b^2}{a^2}},\] og ellipsen er i et sædvanligt retvinklet koordinatsystem fastlagt ved ligningen \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .\]

Ellipsens areal er bestemt ved \(\pi ab\).

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer (4)

skrev Hans Bendix Pedersen

Kære Vagn Lundsgaard.
Jeg har bemærket at du ikke har givet en formel for omkredsen på en ellipse. Men det skyldes vel at det ikke er så nemt og simpelt som beregning af arealet.
Må jeg foreslå: h=(a-b)^2/(a+b)^2 som hjælpestørrelse og omkredsen beregnet enten som
O= pi(a+b)(1+1/4h+1/64h^2+1/256h^3+....) eller O=pi(a+b)(1+3h/(10+(4-3h)^0,5. Jeg tror det er Ramanujan der har været inde over. Rækkeudviklingen er nok den der er mest nøjagtig.
Skulle det falde uden for lex.dk's område ser du bare bort fra min kommentar.
Mvh
Hbendixp

svarede Vagn Lundsgaard Hansen

Kære Hans Bendix.
Hvis der havde været en simpel formel for omkredsen af en ellipse, som i specialtilfældet cirklen, ville den have været med i artiklen. Det kan faktisk bevises at der ikke findes en simpel formel for omkredsen af en generel ellipse, og at indføre beskrivelser med rækkeudviklinger er for specialister, der allerede læser kilder (lærebøger) på universitetsniveau, hvor de kan få den udtømmende beskrivelse.
Mange hilsner
Vagn Lundsgaard

skrev Hans Bendix Pedersen

Kære Vagn Lundsgaar
Ja, det kan jeg godt forstå, og den helt simple formel er set angivet som pi*(a)(b) men er meget unøjagtig.
Så du har ret.

skrev Hans Bendix Pedersen

Kære Vagn Lundsgåård
Tilnærmelsesformlen for omkredsen skulle selvfølgelig have været pi*(a+b). Det blev jo formlen arealet jeg skrev.

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig