Det gyldne snit omhandler delingen af et linjestykke \(AB\) i to stykker \(AC\) og \(CB\), så forholdet mellem hele linjestykket og det største stykke er det samme som forholdet mellem det største og det mindste stykke: \( \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB} \), dvs. \(AC\) er mellemproportional til \(CB\) og \(AB\). Da \(AB = AC+CB\), følger det, at forholdet \( \phi= \frac{AC}{CB} \) (det gyldne forhold) opfylder andengradsligningen \(\phi^2 -\phi = 1\), hvorfor \(\phi\) er \((\sqrt{5}+1)/2=1,618\dots . \)
gyldne snit
Gyldne snit. Konstruktion af det gyldne snit. For at dele linjestykket AB i det gyldne snit tegnes først en retvinklet trekant (ABO) med kateterne AB og AB/2 (her 2 og 1). Med en passer afsættes punktet E, så OE = OB, og derefter punktet C, så AC = AE. C deler da AB i det gyldne snit. Kvadratet på det største stykke (ACDE) er lige så stort som det rektangel, hvis sider er det mindste stykke og hele linjestykket (GCBH). Hvis det største stykke føjes til hele linjen, fås et nyt linjestykke (FE), som også er delt i det gyldne snit, med den oprindelige linje som det største stykke.
Gyldne snit. Diagonalerne i en regulær femkant deler hinanden i det gyldne snit. De fem diagonaler danner i midten en ny regulær femkant osv. Denne uendelige følge af femkanter var med til at overbevise pythagoræerne om, at linjestykker er delelige i det uendelige.
Gyldne snit. Dette rektangel er et gyldent rektangel, dvs. et rektangel, hvor forholdet mellem siderne er det gyldne forhold. Punktet C deler linjen AB i det gyldne snit, ligesom E deler AD, og G deler DF i dette forhold, osv. Kurven, der går gennem alle disse gyldne snit, bliver ofte omtalt som en logaritmisk spiral. Dette er ikke sandt; der er tale om en anden spiral, som er tæt på en logaritmisk spiral. Men det er rigtigt at den logaritmiske spiral kan genfindes i den gennemskårne nautilskal.
Konstruktion af det gyldne snit
En konstruktion af snittet findes i Euklids Elementer II.11 og benyttes i IV.10-11 til at konstruere en regulær femkant. Forholdet mellem diagonalen og siden i en regulær femkant er nemlig det gyldne forhold, ligesom diagonalerne deler hinanden i dette forhold. De fem diagonaler danner i midten en ny regulær femkant, hvis diagonaler danner en ny femkant osv. Denne uendelige rekursion var med til at få pythagoræerne til at indse, at diagonalen og siden er inkommensurable eller med en moderne sprogbrug, at φ er et irrationalt tal. Det afspejles også i kædebrøksudviklingen:
\[ \phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots} } . \]
Ved udregning af kædebrøken finder man approksimanterne,
\[ 1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \dots , \]
der viser, at det gyldne snit kan tilnærmes ved forholdet mellem to successive Fibonaccital.
Navnet det gyldne snit kan spores tilbage til den tyske matematiker Martin Ohm (1792-1872) i 1835; astronomen Johannes Kepler talte om divina proportio 'det guddommelige forhold'; på græsk er navnet det yderste og mellemste forhold. Et særligt dansk ord er højdeling.
Det gyldne snit og harmoniske proportioner
Det gyldne snit spillede en stor rolle i antikkens arkitektur og billedkunst. Det indgik undertiden i tempelarkitekturen — Parthenons facade kan indskrives i et gyldent rektangel — og i den ideale menneskefigur, som bl.a. billedhuggeren Polyklet arbejdede med; her deler navlen figurens højde i det gyldne snit. Dette snit indgår også i den femtakkede stjerne, pentagrammet, som man mener har været pythagoræernes emblem.
I renæssancen anså man proportioner, hvori det gyldne snit indgik, som udtryk for den guddommelige orden; i 1509 udgav matematikeren Luca Pacioli De Divina Proportione ('Om den guddommelige proportion'). Det gyldne snit anvendtes af malere som Piero della Francesca, Sandro Botticelli, Albrecht Dürer og Nicolas Poussin samt af arkitekter som Andrea Palladio. I 1900-tallet brugte fx Piet Mondrian, Le Corbusier og Bauhaus-designerne det gyldne snit, som ikke blot fungerer formelt æstetisk, men også ofte understreger betydningsbærende elementer i billeder, skulpturer eller bygninger.
Fibonaccitallene (talrækken 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 osv.), der som nævnt ovenfor er nært knyttet til det gyldne snit, indgår i den regelmæssigt opbyggede struktur i grankogler, solsikkeblomster og ananasfrugter, i bladstillingen hos flere planter samt i spiralkurverne i sneglehuse og nautilskaller. Talrækken har også – især indtil 1600-tallet – dannet grundlag for den typografiske udformning af bøger – bl.a. ved bogmarginernes proportionering med en smal indermargin (3), en lidt bredere overmargin (5), en endnu bredere ydermargin (8) og en meget bred undermargin (13). Endvidere til udformningen af bl.a. digte og musikalske kompositioner som fx Inger Christensens Alfabet (1981) og Pelle Gudmundsen-Holmgreens Tricolore 1 (1966, uropført 1991). Se også proportion.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.