.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Interpolation betegner i matematik en tilnærmelse af funktionsværdier mellem givne værdier, fx fra en tabel. I filologi og retshistorie en betegnelse for indskud eller ændringer, se interpolation.

Faktaboks

Etymologi
Ordet interpolation kommer af latin interpolatio, af interpolare 'friske op', heraf betydningen 'indføje noget nyt, forvanske', af inter- og måske afledning af polire 'polere'.

Har man i en tabel over en funktion, fx en logaritmetabel, skridtlængde \(1\) i den uafhængige variabel og to funktionsværdier, fx de naturlige logaritmer \(\ln(180) = 5,19.296\) og \(\ln(181) = 5,19.850\), kan man tilnærme \(\ln(180,5)\) med middelværdien, \(5,19.573\), og tilsvarende forholdsvist \(\ln(180,1)\) med \(5,19.351\). Denne fremgangsmåde svarer til, at man har erstattet funktionens graf med korden mellem de to knudepunkter. Den kaldes derfor lineær interpolation.

Lineær interpolation er ikke altid tilstrækkelig. I tabeller kan en bølgelinje i margenen betyde, at lineær interpolation ikke er nøjagtig nok, men i stedet kan man benytte sig af kvadratisk interpolation. Det betyder, at man skal erstatte funktionen med parablen gennem tre tabelpunkter. Tilsvarende kan en rudelinje betyde, at kvadratisk interpolation er utilstrækkelig. Disse opgaver har ført til, at interpolation mere generelt kom til at betyde at finde polynomiet af laveste grad gennem et givet antal punkter; der findes netop ét sådant polynomium. De klassiske løsninger på opgaven er Newtons og Lagranges interpolationsformler. Er der givet n+1 forskellige punkter, (x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn), kan polynomiet gennem dem efter Newton skrives som a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1) +∙∙∙+an(xx0)∙∙∙(xxn-1), hvor koefficienterne beregnes rekursivt (se rekursion) af a0 = y0 og

Lagrange løser opgaven i to skridt. Først bestemmes de polynomier, der er 0 i n af punkterne og 1 i det sidste. De er åbenbart osv. Når disse er bestemt, skrives det søgte polynomium umiddelbart op som y0L0(x)+y1L1(x)+∙∙∙+ynLn(x). I tilfælde af ækvidistante punkter (xi -er), som kan antages at være 0,1,...,n, kan Newtons interpolationsformel skrives med binomialkoefficienter som en diskret analogi til Taylors formel:

hvor Δf(0) = f(1)−f(0), Δ2f(0) = Δf(1)−Δf(0), osv. (se differensregning).

Hvis man vil tillade punkterne at være ens, kan man definere et interpolationspolynomium på samme form som Newtons, men med en anden definition af koefficienterne:

Dette kaldes Hermite-interpolation. Det resulterende interpolationspolynomium stemmer overens i punkterne med funktionen f og dens afledede op til den orden, der er én mindre end antallet af gentagelser af det pågældende punkt. Fx giver Hermite-interpolation i n+1 gentagelser af et og samme punkt netop Taylorpolynomiet af grad n ud fra det nævnte punkt.

Interpolation kan også foretages med andet end polynomier, først og fremmest med rationale funktioner.

Interpolation finder desuden anvendelse til bl.a. numerisk integration. Fx er Gauss-kvadratur at integrere det Hermite-polynomium, som interpolerer netop to gange i hvert af et antal specielt udvalgte punkter, nemlig nulpunkterne i et passende ortogonalt polynomium.

Ekstrapolation

Hvis interpolationspolynomiet anvendes uden for intervallet, som x-værdierne udspænder, kaldes processen ekstrapolation. Her er den umiddelbare tilnærmelse forbundet med større usikkerhed, hvorfor man har anstrengt sig for at forbedre den.

Det kan gøres ved at variere de kendte punkter i nærheden af det søgte punkt. Hvis fejlen formindskes med samme faktor for hvert skridt, er resultatet en kvotientrække, der kan summeres med væsentlig forbedring af tilnærmelsen til følge. Dette kaldes Aitken-ekstrapolation. Mere generelt kan man vælge at eliminere de laveste potenser af fejlen ved Richardson-ekstrapolation. Har to ekstrapolationsskridt fx ført til tilnærmelserne y1 og y2 til den søgte værdi y: y = y1+c∙h+α(h)∙h2y = y2+c∙h/2+β(h)∙h2, hvor c,h er visse konstanter, mens α,β er begrænsede funktioner, så kan tilnærmelsen forbedres til y1−2y2, som eliminerer den del af fejlen, der er lineær i h. Det har den fordel, at for små værdier af h er h2 langt mindre end h/4, som vi havde fået ved gentagelse af den proces, der førte til y1 og y2. Forbedringen kan gentages med reduktion af fejlen til højere potenser af h.

Richardson-ekstrapolation spiller en afgørende rolle i numeriske metoder som Rombergs integrationsmetode og Stoer-Bulirsch-metoden til løsning af differentialligninger.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig