Algebraisk ligninger betegner ligninger af formen \(x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0=0\), hvor koefficienterne \(a_{n-a},...,a_0\) er reelle- eller komplekse tal og \(n\) er ligningens grad. Venstre side af ligningen er et (generelt) \(n\)'te-gradspolynomium, og løsning af ligningen svarer til at finde rødderne i dette. Ifølge algebraens fundamentalsætning har en sådan ligning \(n\) komplekse løsninger (rødder) talt med multiplicitet. Eksempel: tredjegradsligningen \((x-3)^2 \cdot (x-5)=0\) har fx roden \(3\) med multiplicitet \(2\) og roden \(5\) med multiplicitet \(1\).
algebraisk ligning
Rødder
For algebraiske ligninger af den specielle form \(x^n-a=0\) kan rødderne angives eksplicit, og hver af de \(n\) rødder kaldes \(\sqrt[n]{a}\) og i den komplekse plan danner de hjørnerne i en regulær \(n\)-kant. Det er et klassisk problem at afgøre, om løsningen af en algebraisk ligning kan reduceres til løsning af ligninger af den nævnte specielle form. For en algebraisk ligning af grad mindre end \(5\) er dette muligt, dvs. rødderne kan udtrykkes ved rodtegn.
Specielt for en (generel) andengradsligning, \(a_2x^2+a_1x+a_0 = 0\), er rødderne tallene \[\frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2-4a_2a_0}}{2a_2}.\]
I en algebraisk ligning af tredje grad kan de tre rødder udtrykkes i en formel (Cardanos formel). Hvis koefficienterne er reelle tal, vil tredjegradsligningen have enten én reel rod, som kan udtrykkes som en reel kubikrod, eller \(3\) reelle rødder, der i almindelighed ikke kan udtrykkes ved rodtegn inden for de reelle tal.
Løsningen af en algebraisk ligning af fjerde grad kan ved omskrivning reduceres til løsning af en tredjegradsligning.
Den norske matematiker N.H. Abel viste, at en algebraisk ligning af grad \(5\) eller derover i almindelighed ikke kan løses ved rodtegn. Mere præcise resultater blev opnået af E. Galois.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.