Talteori er den gren af matematikken, som beskæftiger sig med tallene, specielt med de naturlige tal og de hele tal. Området har altid fascineret også ikke-matematikere, fordi det indeholder en række problemer, der er nemme at forstå, men vanskelige at løse. Problemerne fremkommer dels via matematikkens naboområder som anvendt geometri, fysik og astronomi, dels ved i forbindelse med talrækken at stille de klassiske matematiske spørgsmål om hvad, hvor og specielt hvorfor. Ingen matematisk teori dækker hele området, og det er et særkende, at metoder af mange forskellige typer har ført til resultater.

Elementær talteori

Elementær talteori omfatter især tallenes multiplikative egenskaber, altså spørgsmål om fx delelighed og kongruens, primtal og sammensatte tal samt fuldkomne tal.

En hjørnesten er aritmetikkens fundamentalsætning, som er sætningen om entydig opløsning af naturlige i primfaktorer.

Af geometrisk oprindelse er spørgsmålet om at bestemme pythagoræiske talsæt, dvs. sæt af hele tal \((x,y,z)\), der kan være længder i en retvinklet trekant. Det fremgår af lertavler, skrevet før 1500 f.v.t., at babylonierne kunne frembringe sådanne talsæt, fx \(x = 13.500\), \(y = 12.709\) og \(z = 18.541\).

Fra den tidlige græske matematik kendes beviset for, at siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable, altså at siden og diagonalen ikke samtidig kan være hele tal.

Ligeledes kendes fra græsk matematik Euklids algoritme til bestemmelse af den største fælles divisor for to tal, Euklids bevis for, at der er uendelig mange primtal, og undersøgelsen af de lige fuldkomne tal.

Den kinesiske restklassesætning fra 1. årh. e.v.t. har været anvendt i kalenderberegninger. Den udsiger, at hvert system af kongruenser \(x \equiv a_1\) (mod \(n_1\)), ... , \(x \equiv a_r\) (mod \(n_r\)), hvor tallene \(n_i\) er parvis primiske, har en løsning \(x\), og \(x\) er entydigt bestemt modulo produktet \(n_1 \cdots n_r\).

Den egentlige talteori går tilbage til 1600-tallet. Af tidlige, letforståelige resultater kan nævnes Fermats lille sætning, Eulers sætning om fremstilling af primtal som sum af to kvadrater, Bachets sætning og Wilsons sætning.

Fundamental betydning fik Fermats store sætning (som en inspirerende udfordring) og Gauss' reciprocitetssætning om kvadratiske rester.

Eksempler på resultater i den elementære talteori

  • Fermats lille sætning: Når tallet \(a\) ikke er deleligt med primtallet \(p\), så er \(ap–1–1\) deleligt med \(p\). Sætningen blev formuleret af Pierre de Fermat.
  • Eulers sætning: Ethvert primtal \(p\) af formen \(4n+1\) kan skrives som en sum af to kvadrater, \(p = x2+y2\); fx er \(5 = 12+22\), \(13 = 22+32\), og \(17 = 12+42\). Sætningen blev formodet af Fermat, men først bevist af Leonhard Euler.
  • Bachets sætning: Ethvert naturligt tal k kan skrives som en sum af fire kvadrater, (k = x2+y2+z2+w2); fx er (4 = 22+02+02+02 = 12+12+12+12). Sætningen blev formuleret i 1621 af den franske matematiker Claude Bachet (1581-1638) og bevist af Joseph Louis Lagrange i 1770.
  • Wilsons sætning: Når \(p\) er et primtal, så er \((p–1)!+1\) deleligt med \(p\). Sætningen blev publiceret i 1770 af den britiske matematiker Edward Waring (1734-98) og tilskrevet hans elev John Wilson (1741-93). Den blev bevist af Lagrange i 1773.

Algebraisk talteori

Algebraisk talteori omhandler egenskaber ved talringe, dvs. ringe af algebraiske tal, og en række vigtige spørgsmål i talteori kan med fordel betragtes i relation til talringe. Fx kan Pells ligning, \(x^2−Dy^2 = 1\), undersøges ved at betragte ringen af tal af formen \(x+y\sqrt{D}\), hvor \(x\) og \(y\) er hele tal; med sådanne tal kan ligningen skrives

\[(x+y\sqrt{D})(x-y\sqrt{D})=1\]

Tilsvarende kan ligningen \(x^2+y^2 = p\) undersøges ved at betragte ringen af komplekse tal af formen \(x+yi\), hvor \(x\) og \(y\) er hele tal; med sådanne tal kan ligningen skrives

\[(x+iy)(x−iy) = p\]

Talringe opfører sig på flere måder ligesom ringen af hele tal. Idet de sædvanlige primtal kan defineres som de tal, der inden for de hele tal kun har trivielle divisorer (dvs. \(\pm 1\) og \(\pm\) tallet selv), kan man tilsvarende definere "primtallene" i en givet talring. Ethvert tal i talringen kan da opløses i "primfaktorer", men denne opløsning er ikke nødvendigvis entydig: Aritmetikkens fundamentalsætning gælder ikke for talringe i almindelighed. Teorien udvikledes i 1800-tallet, bl.a. af Peter Lejeune Dirichlet, som bestemte enhederne (dvs. de tal \(x\) i talringen, for hvilke også \(\frac{1}{x}\) tilhører talringen), og af Ernst Kummer og Richard Dedekind, som fandt resultater, der erstattede fundamentalsætningen.

Analytisk talteori

Analytisk talteori omfatter resultater opnået med metoder fra matematisk analyse, fx kompleks funktionsteori. Hertil hører sætninger om primtallenes fordeling og Dirichlets sætning om primtal i differensrækker. Sammenhængen mellem primtallene og Riemanns zetafunktion \(\zeta(s)\) for reelle værdier af \(s\) blev opdaget allerede i 1737 af L. Euler. Til den analytiske talteori hører også David Hilberts løsning fra 1909 af Warings problem og Godfrey Harold Hardy og Srinivasa Aiyangar Ramanujans resultater fra 1917 om partitioner.

Geometrisk talteori

udnytter geometriske metoder, fx i spørgsmål vedrørende diofantiske approksimationer. Et hovedresultat her er Minkowskis gittersætning fra 1896: En punktmængde i \(R^n\), der er symmetrisk omkring begyndelsespunktet og konveks og har et volumen større end \(2^n\), indeholder foruden begyndelsespunktet mindst et punkt med heltalskoordinater.

Kommentarer (2)

skrev Klaus Miklos Körmendi

Ilustrationernes links fungerer ikke.
Tre gabge:
"Ukendt.
Licens: Brukerspesifisert "

svarede Marie Bilde

Kære Klaus Miklos Körmendi
Tak for din kommentar. Da vi importerede lex.dk's data i 2020, havde vi vanskeligheder med overføring af nogle matematiske formler, som i nogle tilfælde var helt eller delvist konstrueret som billeder. De tre lidt mystiske billeder af formlen for kvadratroden af D i denne artikel, som du kommenterede, var eksempler herpå. Artiklens formelmateriale skulle gerne være korrekt opmærket nu.
Venlig hilsen
Marie Bilde, udviklingsredaktør.

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig