sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning er en matematisk teori for sandsynligheder og tilfældige variable og fænomener. Begrebet "sandsynlighed" i dets nuværende betydning er et forholdsvis nyt begreb, som var ukendt i oldtiden og den tidlige middelalder. Sandsynlighedsregningen har sin oprindelse i tilfældige spil som fx terningspil og kortspil, men bliver i dag anvendt inden for en lang række områder, bl.a. naturvidenskaberne, statistik, forsikringsverdenen, den finansielle sektor og risikovurderinger.

Geronimo Cardano var den første, der forsøgte at gøre sandsynligheder kvantitative. Ca. 1550 skrev han Liber de Ludo Aleae (Bogen om terningspil). Bogen, som mest har karakter af en dagbog, indfører begrebet sandsynlighed i form af odds, og i bogen udleder Cardano de elementære regneregler for sandsynligheder. Cardano var en passioneret spiller, og han holdt sin bog hemmelig. Først ca. 100 år efter Cardanos død blev bogen opdaget blandt hans talrige bøger og artikler, men da var sandsynlighedsregningen blevet genopdaget af de to matematikere Pierre de Fermat og Blaise Pascal i en berømt brevveksling i 1654.

Fermat-Pascals model tager udgangspunkt i en endelig mængde \(\Omega\) af udfald med samme sandsynlighed, fx lodtrækning blandt tallene \(1, 2, ... , N\). Sandsynligheden \(P(A)\) for en hændelse \(A \subseteq \Omega\) defineres da som antallet af udfald i \(A\) divideret med det samlede antal udfald; dvs. hvis \(|A|\) betegner antallet af udfald i \(A\), da er \(P(A) = |A|/|\Omega|\). Fermat og Pascal nedskrev aldrig deres idéer i bogform, men i 1656 kom den hollandske matematiker og fysiker Christiaan Huygens til Paris og fik kendskab til brevvekslingen mellem de to. Året efter skrev Huygens den første egentlige lærebog i sandsynlighedsregning (De Ratiociniis in Ludo Aleae).

Huygens' model tager sit udgangspunkt i begrebet "middelværdi" eller i hans terminologi "værdien af min chance"; fx postulerer han, at hvis jeg har \(p\) chancer for at vinde \(a\) kr. og \(q\) chancer for at vinde \(b\) kr., da er værdien af min chance lig \((ap+bq)/(p+q)\). I bogen beskrives en række problemer med løsninger. Det sidste problem i Huygens' bog lyder således: Hvis jeg og en anden skiftes til at slå med to terninger, sådan at jeg vinder puljen \(a\), hvis min sum er lig 7, og han vinder puljen, hvis hans sum er lig 6; hvis han slår først, da er værdien af min chance lig \(31/61 \cdot a\). Problemet har specielt interesse, fordi det går ud over Fermat-Pascals model; da spillet i princippet kan fortsætte i al evighed uden nogen afgørelse, er der uendelig mange mulige udfald.

Fra 1656 til midten af 1700-tallet blev sandsynlighedsregningen udviklet af Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre og Daniel Bernoulli. I tredje udgave af Moivres bog The Doctrine of Chances (1756) indeholder sidste kapitel (Annuities of Lives) en række formler og tabeller for indbetalinger til livs- og pensionsforsikringer baseret på en overlevelsestabel (dvs. en tabel over sandsynligheden for, at en tilfældig person af given alder overlever sin næste fødselsdag) udarbejdet af astronomen Edmund Halley. Det var da også i forsikringsverdenen, at sandsynlighedsregningen fandt sin første praktiske anvendelse, der rakte videre end spil. I begyndelsen af 1800-tallet fandt Gauss den vigtige normalfordeling (også kaldet Gauss-fordelingen). 1800-20 afsluttede P.S. Laplace den klassiske sandsynlighedsregning i sin berømte bog Théorie analytique de probabilités (1812, udvidede udgaver 1814 og 1820). Sandsynlighedsregningen var på dette tidspunkt nået langt uden for grænserne for Fermat-Pascals model, dog uden at der var fundet en stringent matematisk model for sandsynligheder. Efter mange forgæves forsøg i 1800-tallet og begyndelsen af 1900-t. lykkedes det Andrej Kolmogorov i 1933 at finde den stringente matematiske model for sandsynligheder, som siden da har været næsten enerådende.

Kolmogorovs model tager sit udgangspunkt i tre objekter: 1) udfaldsrummet \(\Omega\), som er en (endelig eller uendelig) mængde af udfald; 2) hændelserne \(H\), som er en mængde af delmængder af \(\Omega\) (nemlig samtlige observerbare hændelser); 3) sandsynlighedsmålet \(P\), der til enhver hændelse \(F \in H\) knytter hændelsens sandsynlighed \(P(F)\), som er et tal mellem 0 og 1. For de tre objekter postulerer Kolmogorov følgende fem aksiomer (spilleregler): a) Den tomme mængde \(\emptyset\) og udfaldsrummet \(\Omega\) tilhører begge \(H\). b) Hvis \(F\in H\) er en hændelse, da vil komplementærhændelsen \(F^c\) også tilhøre \(H\). c) Hvis \(F_1, F_2,... \in H\) er en følge af hændelser, da vil foreningsmængden \(F_1 \cup F_2 \cup \dots \) også tilhøre \(H\). d) \(P(\emptyset) = 0\), og \(P(\Omega) = 1\). e) Hvis \(F_1, F_2, ... \in H\) er en følge af hændelser, som parvis udelukker hinanden (dvs. \(F_n \cap F_k = \emptyset\) for \(n \neq k\)), da gælder det, at \(P(F_1 \cup F_2 \cup \dots) = P(F_1) +P(F_2)+ \dots\).

Desuden indførte Kolmogorov følgende definitioner: i) En stokastisk variabel er en funktion \(X\) fra \(\Omega\) ind i de reelle tal, som opfylder, at mængden \(\{\omega | X(\omega) \leq a\}\) tilhører \(H\) for ethvert reelt tal \(a\); ii) to hændelser \(A,B \in H\) er uafhængige, hvis og kun hvis \(P(A\cap B\) = P(A) \cdot P(B)\).

Ud fra disse fem aksiomer og to definitioner kan alle sandsynlighedsregningens sætninger udledes på stringent matematisk vis; fx de mange versioner af de store tals lov, den centrale grænseværdisætning, den itererede logaritmelov og arcsin-loven.

De tre første aksiomer udtrykker, at systemet \(H\) af hændelser er en såkaldt sigma-algebra i \(\Omega\), mens de to sidste aksiomer udtrykker, at \(P\) er et mål med total masse 1. Dermed er Kolmogorovs model et specialtilfælde af målteorien.