trigonometriske funktioner

De trigonometriske funktioner har deres oprindelse i de kordetabeller, som de græske astronomer, bl.a. Hipparchos og Ptolemaios, anvendte i antikken til astronomiske beregninger. I Ptolemaios' værk Almagest findes en tabel over længden af korder, der spænder over cirkelbuer fra 0° til 180° med et interval på \(\tfrac{1}{2}^{°}\). Egentlig spiller det kun en ringe rolle, om man arbejder med korder eller sinusser, idet \(r\cdot\sin\alpha = \tfrac{1}{2}k(2\alpha)\), hvor r er cirkelbuens radius, og \(k(2\alpha)\) er kordelængden i cirkelbuen til centervinklen \(2\alpha\); dvs. at kordelængden og sinus er proportionale.

Omkring 510 optrådte denne tabel omformet til en sinustabel hos den indiske matematiker Aryabhata 1, men selve navnet sinus forekom først hos Gherardo af Cremona (1114-84) i en oversættelse af Almagest fra arabisk til latin. Araberne indførte tangens- og cotangenstabeller omkring 860, men hele terminologien, som den bruges i dag, og betegnelsen trigonometri blev først udviklet i Europa i 1400-1600-tallet af bl.a. Johannes Regiomontanus, François Viète og den engelske matematiker Edmund Gunter (1581-1626). Det var danskeren Thomas Fincke, der indførte betegnelsen tangens i værket Geometriae Rotundi (1583).

I løbet af 1600-1700-tallet blev de omvendte relationer til sinus, cosinus osv. indført (se invers afbildning) af bl.a. den skotske matematiker James Gregory (1638-75), Leibniz og især Euler. Disse omvendte relationer er flertydige funktioner, der kaldes cirkulære funktioner eller arccusfunktioner; de defineres som \(\arcsin x = y\), når \(\sin y = x\), \(\arccos x = y\), når \(\cos y = x\) osv.

I 1700-tallet blev algebraisering og rækkeudviklinger nye hjælpemidler (jf. potensrække), og interessen samledes om relationer mellem funktioner. Eksempelvis gav de Moivres formel \[(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi\] og Eulers formel \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\) anledning til formlerne \[\cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}\quad \text{og}\quad \sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i} . \] Her er i den imaginære enhed (se komplekse tal).

Herefter var det nærliggende at indføre hele gruppen af hyperbolske funktioner begyndende med \[\cosh\varphi=\dfrac{e^{\varphi}+e^{-\varphi}}{2}\quad \text{og}\quad \sinh\varphi=\dfrac{e^{\varphi}-e^{-\varphi}}{2} .\] Endvidere kunne man udvide cosinus og sinus til at være defineret i hele den komplekse plan.

Trigonometriske rækker blev bl.a. studeret af J. Fourier i hans arbejde med at rækkeudvikle periodiske funktioner, se Fourieranalyse.

• trigonometri
• invers afbildning
• potensrække
• komplekse tal
• Fourieranalyse