Maxwell-ligningerne

• \(\textbf{E}\) en vektor, der angiver størrelse og retning af det elektriske felt
• \(\textbf{B}\) en vektor, der angiver størrelse og retning af det magnetiske felt
• \(\epsilon\) den elektriske permittivitet
• \(\mu\) den magnetiske permeabilitet
• \(\rho\) ladningstæthed, altså elektrisk ladning per volumenenhed
• \(d\textbf{A}\) en vektor vinkelret på et arealelement i et fladeintegral
• dV et volumenelement i et volumenintegral.

\[\oint_{S}^{}\textbf{E}\cdot d\textbf{A} = \frac{1}{\epsilon}\int_{V}^{}\rho dV\]

Venstre side af denne ligning er et fladeintegral, der giver den samlede elektriske flux gennem en lukket flade. Den er nul, hvis lige så megen flux går ud som ind gennem fladen, eller hvis der slet ikke er nogen flux gennem fladen.

Højre side af ligningen er et volumenintegral, der giver summen af al den elektriske ladning, som er til stede i det volumen, fladen omslutter.

Dvs. at hvis der fx er mest positiv/negativ ladning til stede i volumenet, er højresiden af ligningen positiv/negativ, og der er derfor netto flux ud/ind af fladen. Er der lige meget positiv og negativ ladning i volumenet, er den udgående og indkommende flux gennem fladen lige store og summen derfor nul.

\[\oint_{S}\textbf{B}\cdot d\textbf{A}=0\]

Denne lov minder en del om loven for elektrisk felt ovenfor, bortset fra at ligningens højreside er nul. Venstresiden er som ovenfor et fladeintegral over en lukket flade, og loven siger, at summen af ud- og indgående magnetisk flux altid er nul. Det vil sige, at der altid går lige mange feltlinjer ud som ind ad fladen, og at der altså altid er lige mange magnetiske syd- som nordpoler i det volumen, fladen omslutter. Det betyder, at magnetiske poler altid optræder som par, dvs. som dipoler, og at der ikke findes magnetiske monopoler, altså separate syd- eller nordpoler.

\[\oint_{C}\textbf{E}\cdot d\textbf{l}=-\frac{d}{dt}\int_{S}^{}\textbf{B}\cdot d\textbf{A}\]

Denne lov kendes også som induktionsloven. Venstre side af ligningen er det samlede elektriske felt langs en en lukket elektrisk kreds, dvs. den elektromotoriske kraft i kredsen. Højre side er den den tidslige ændring af den samlede magnetiske flux gennem kredsen.

Samlet set siger loven, at et varierende magnetfelt inducerer et varierende elektrisk felt. Minustegnet på ligningens højre side udtrykker, at det inducerede elektriske felt altid vil have en retning, så det heraf inducerede magnetfelt modvirker det magnetfelt, der inducerede det. Dette kaldes også Lenz' lov.

Maxwells formulering:

\[\oint_{C}\textbf{B}\cdot d\textbf{l}=\mu\int_{S}^{}\textbf{I}\cdot d\textbf{A}+\mu\epsilon\frac{d}{dt}\int_{S}^{}\textbf{E}\cdot d\textbf{A}\]

Som loven oprindelig var formuleret af Ampère, havde den ikke sidste led på højre side og lød derfor:

\[\oint_{C}\textbf{B}\cdot d\textbf{l}=\mu\int_{S}^{}\textbf{I}\cdot d\textbf{A}\]

Som sådan udtrykker ligningen, at det inducerede magnetfelt \(\textbf{B}\) langs en lukket kurve er lig med den samlede elektriske strøm, der går gennem en vilkårlig flade med kurven som rand. Dette fører dog til problemer, hvis man fx betragter en kapacitor. En kapacitor kan lede tidsligt varierende strømme, men der er ingen transport af ladning gennem kapacitoren.

I figuren er vist et lederstykke med en kapacitor. Der løber en strøm I til den øverste kapacitorplade. Dette gør, at den elektriske ladning – og dermed spændingen – på den øverste plade vokser. Spændingen på den nederste plade vil vokse tilsvarende, men med modsat fortegn. Dette gør, at der i lederen forneden løber samme strøm som i lederen foroven.

Der er med andre ord sket en overførsel af strøm fra den øverste leder til den nederste, uden at der er transporteret elektrisk ladning mellem de to plader.

Dvs. at hvis vi betragter kurven C og fladen S₁ i figuren og benytter Ampères oprindelige lov, er højresiden μI. Hvis vi i stedet betragter fladen S₂, er højresiden 0, da der ikke løber nogen strøm, eftersom der ikke bliver transporteret nogen elektrisk ladning gennem S₂. Dette fører til en klar modstrid, da loven skal gælde for enhver flade, der har kurven C som rand.

Denne modstrid blev der rettet op på af Maxwell, som indså, at der sker noget andet gennem S₂: Der er et tidsligt varierende elektrisk felt, som forårsager ladningsændringen på den nederste kapacitorplade og dermed strømmen i den nederste leder. Det ser altså ud til, at et varierende elektrisk felt er ækvivalent med transport af elektrisk ladning.

Maxwell indførte derfor det, han på engelsk kaldte displacement current, I_D, og som på dansk er blevet til forskydningsstrøm.

Den elektriske flux Φ_E, dvs den samlede elektriske flux gennem fladen S₂ er

\(\Phi_{E}=\oint_{S_{2}}\textbf{E}\cdot \textbf{dA}\)

Maxwell formulerede forskydningsstrømmen som \( I_{D}=\epsilon\frac{d\Phi_{E}}{dt}\), dvs. proportional med den tidslige ændring af den samlede elektriske flux gennem fladen. I_D er af samme størrelse som I, altså strømmen i lederen til kapacitoren, og den inducerer et magnetfelt ganske som I.

Med denne tilføjelse gælder Ampères lov i alle tilfælde.

Forskydningsstrømmen er et uhyre vigtigt bidrag til elektromagnetismen, idet den udtrykker, at et varierende elektrisk felt inducerer et varierende magnetfelt. Fra Faradays lov ved vi, at det omvendte også er tilfældet, dvs. at de to felter kan inducere hinanden, uden at der er en elektrisk leder tilstede som fx i vakuum. Dette giver en forklaring på eksistensen af elektromagnetiske bølger, der kan udbredes i vakuum, og denne indsigt forklarede lysets natur, som havde været debatteret i århundreder.

\(\nabla\cdot\textbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon}\)

Her er \(\nabla\) differentialoperatoren: \(({\frac{\partial }{\partial x}},{\frac{\partial }{\partial y}},{\frac{\partial }{\partial z}})\), \(\rho\) er ladningstætheden, og \({\epsilon}\) er permittiviteten. I vacuum er permittiviteten \({\epsilon_o}\), men hvis der er et dielektrikum tilstede er den forskellig fra \({\epsilon_o}\).

\(\nabla\cdot\textbf{B}=0\)

Her er \(\nabla\) som ovenfor differentialoperatoren.

\(\nabla\times \textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}\)

Her er t tiden. \(\nabla,\textbf{E}\) og \(\textbf{B}\) som ovenfor.

\(\nabla\times \textbf{B}=\mu I+\mu\epsilon\frac{\partial \textbf{E}}{\partial t}\)

her er μ den magnetiske permeabilitet. I vacuum er den μ_o , men er der et magnetisk materiale tilstede, er den forskellig fra μ_o.