Mandelbrotmængden er en matematisk struktur i den komplekse plan af betydning i teorien for dynamiske systemer og fraktaler. Mandelbrotmængden er knyttet til iteration af polynomier på formen \(z^2+c\).
Faktaboks
- Etymologi
-
efter Benoît Mandelbrot
Den består af de komplekse c-værdier, for hvilke den itererede følge af punkter \[0, c, c^2+c, (c^2+c)^2+c, \ldots \] ligger helt inden for eller på cirklen med centrum i \(0\) og radius \(2\). Det er derfor simpelt at generere computerbilleder af Mandelbrotmængden.
Randen af Mandelbrotmængden er en fraktal; den har Hausdorff-dimension \(2\), men topologisk dimension \(1\). Mandelbrotmængden kan desuden karakteriseres som mængden af de \(c\)-værdier, for hvilke den tilhørende Julia-mængde er sammenhængende.
Randen af Mandelbrotmængden er bifurkationsmængden for de iterative dynamiske systemer bestemt af \(z^2 + c\), dvs. at dynamikken og Julia-mængden kun ændres kvalitativt, når \(c\)-værdien passerer randen. I mange familier af holomorfe funktioner genfinder man kopier af Mandelbrotmængden, specielt findes der kopier af den inden i den selv, i mere eller mindre deformeret form.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.