holomorf funktion

holomorf funktion, (1. led af gr. holos 'hel' og morphe 'form'), analytisk funktion, kompleks funktion af én kompleks variabel, som er differentiabel, dvs. at grænseværdien eksisterer for alle z i funktionens (åbne) definitionsområde.

Definitionen ligner den sædvanlige for reelle funktioner af en reel variabel, men betingelsen har overraskende konsekvenser, når z og h er komplekse tal. En holomorf funktion er fx altid uendelig ofte differentiabel. Definitionen er ensbetydende med, at funktionen løser Cauchy-Riemanns differentialligning. En funktion, der er holomorf for alle komplekse værdier af z, kaldes hel.

Teorien for holomorfe funktioner blev udviklet i 1800-t. gennem arbejder af A.L. Cauchy, B. Riemann og K. Weierstrass. Mens de to første benyttede ovenstående definition, baserede Weierstrass teorien på potensrækker, idet han definerede en analytisk funktion som en funktion, der lokalt kan fremstilles som sum af en potensrække; de to metoder leder til det samme begreb.

Teorien for holomorfe funktioner af flere komplekse variable er først blevet udviklet i 1900-t. Se kompleks analyse.