spilteori

Spilteorien opstod omkring 1930 som en anvendt matematisk disciplin, der i begyndelsen overvejende havde til formål at angive præcise løsninger på gængse selskabsspil. Sit afgørende gennembrud fik teorien med John von Neumanns arbejder i 1930'erne, hvor det lykkedes at opstille et velfungerende løsningsbegreb for en hel klasse af spil (de såkaldte topersoners nulsumsspil, se nedenfor); undervejs var spilteoriens begrebsapparat blevet etableret med de grundlæggende begreber (spillere, strategier og payoff), og en mere forfinet begrebsudvikling var påbegyndt.

Den videre udvikling af teorien er markeret af spilteoriens klassiske hovedværk, Theory of Games and Economic Behavior (1944) af Neumann og den tysk-amerikanske økonom Oskar Morgenstern (1902-77). Her blev også forbindelsen til spilteoriens hovedanvendelse, økonomisk teori, understreget; forfatternes vision om spilteorien som den økonomiske videnskabs nye hovedredskab er på mange måder blevet realiseret i dag.

I de efterfølgende årtier forblev spilteorien dog en matematisk disciplin med relativt få aktive bidragydere, som imidlertid udvidede disciplinen ganske betydeligt. Gennembruddet inden for andre videnskabsgrene kom fra slutningen af 1960'erne, hvor det inden for økonomi i begyndelsen var den kooperative spilteori (der interesserer sig for koalitionsdannelse og dens resultater) og specielt teorien om spillets kerne, der fandt anvendelse.

Senere blev det især ikke-kooperativ spilteori (som koncentrerer sig om den enkeltes adfærd), der indgik i den økonomiske teori; de fleste lærebøger i spilteori for økonomer beskæftiger sig således næsten udelukkende med den ikke-kooperative teori. Parallelt hermed trængte spilteoretiske overvejelser ind også i politologi, bl.a. ved diskussion af afstemninger og regeringsdannelser i parlamenter.

I den ikke-kooperative spilteori ses der på den enkelte spillers valg af den bedst mulige strategi, idet der ikke er mulighed for indbyrdes aftaler mellem spillerne. Hvad der er det bedste strategivalg, vil i almindelighed afhænge af, hvad de andre gør. Kun i særlige tilfælde vil en strategi være bedst (i den forstand, at den giver spilleren det højeste payoff) uanset de andres valg; man kalder en sådan for en dominerende strategi. Da dominerende strategier kun sjældent er til stede, må der suppleres med andre overvejelser.

En særlig klasse af spil — som i dag kun nævnes undtagelsesvis, fordi de ret sjældent optræder i praksis — er nulsumsspillene, hvor summen af spillernes payoff altid er 0. Et eksempel på et topersoners nulsumsspil er angivet nedenfor. Her vælger spiller A mellem to strategier, 1 og 2, og spiller B mellem tre strategier, I, II og III. De to spilleres strategier er hhv. rækker og søjler i tabellen, som angiver A's gevinst ved hver mulig kombination af strategier:

Hvis A vælger strategi 1, vil det værste, der kan ske, være gevinsten 1 ved Bs valg af II. Vælges strategi 2, vil det værste være tabet af 4 ved Bs valg af III. Denne betragtning, der kaldes maximin, fordi spiller A gør det dårligste resultat bedst muligt, tilsiger valget af strategi 1. Tilsvarende overvejelser for spiller B fører til valg af strategi II, hvor det værste tab er mindst muligt. Dette valg af strategier er et bud på løsningen eller ligevægten i spillet.

Overvejelsen om at gøre det værste så godt som muligt er specifik for nulsumsspillene, hvor den enes gevinst er den andens tab, men løsningen har en interessant anden egenskab, der kan generaliseres til andre spil: Givet det, som modparten valgte, har hver spiller valgt den bedst mulige strategi. Et strategivalg for alle spillere, der har den egenskab, kaldes en Nash-ligevægt (efter John F. Nash, som i 1951 viste, at sådanne ligevægte findes i en meget bred klasse af spil).

Den ikke-kooperative spilteori, som den ser ud ovenfor, er ikke helt fyldestgørende. Det kan fx indses ved at betragte det velkendte spil papir-sten-saks, hvor begge parter har tre strategier, og hvor man med konventionen om, at taber afleverer en krone til vinder, har følgende tabel:

Dette spil er et nulsumsspil, men maximin-metoden fortæller blot, at alle strategier er lige gode for hver spiller, og der findes ingen Nash-ligevægte. Vejen ud af dette problem er at tillade de såkaldte blandede strategier (det var netop denne idé af Neumann, der etablerede spilteorien som selvstændig disciplin): Spillerne har mulighed for at overlade deres strategivalg til en tilfældighedsmekanisme — i dette tilfælde en, der udpeger hver strategi med sandsynlighed \(1/3\); herved fås en Nash-ligevægt (men nu i blandede strategier). De blandede strategier kan ses som en formalisering af den form for uudgrundelighed, som i praksis ofte er nyttig, idet den kan forhindre modparten i at gætte ens handling.

Beskrivelsen af spil ved strategier og payoff (såkaldte spil på normal form) har været frugtbar, men mange spil fra virkelighedens verden har en mere kompleks form med gentagne træk, indslag af terningkast, træk af kort og andre tilfældighedsmekanismer. Sådanne spil med yderligere struktur (spil på ekstensiv form) kan reduceres til normalformsspil og er dermed omfattet af den hidtidige teori. Ved denne reduktion tabes der dog information, så det kan være hensigtsmæssigt at studere spil på ekstensiv form direkte.

Det viser sig, at et givet spil på ekstensiv form kan have Nash-ligevægte, som ikke svarer til vores intuition om løsninger til spil. Betragt følgende lille spil: Spiller 2 truer med at springe ud fra Eiffeltårnet, hvis ikke spiller 1 giver ham en krone. Spiller 1 kan enten give spiller 2 en krone eller lade være, hvorefter spiller 2 har valget mellem at springe ud fra Eiffeltårnet eller lade være. Med normal tildeling af payoff vil det være Nash-ligevægt, at 1 afleverer kronen under indtryk af 2s trussel om at springe; vor intuition tilsiger os imidlertid, at det næppe er en trussel, der skal tages alvorligt.

For at udelukke sådanne ligevægte, baseret på urealistiske trusler, indførtes begrebet (underspils-)perfekthed af den tyske matematiker Reinhard Selten i 1965: De træk, som strategien foreskriver, skal være de bedst mulige, uanset om spillet tager en vending, der ikke var forudset.

Teorien i det foregående forudsætter, at hver enkelt spiller har fuldt overblik også over de andres payoff og altså ved, hvad de andre er ude på. For at kunne håndtere spil, hvor spillerne ikke har en sådan viden, antages det, at spillerne regner med, at modpartens payoff vælges blandt en række mulige med kendte sandsynligheder. Herefter kan spillet analyseres med de allerede udviklede metoder. Denne reduktion af spil under usikkerhed til almindelige spil skyldes den ungarsk-amerikanske økonom John C. Harsanyi, og den udvider spilteoriens anvendelsesområde i betydelig grad.

I den kooperative spilteori, hvor der ses på konflikter, i hvilke spillerne har mulighed for at indgå bindende aftaler, undersøges sammenhængen mellem på den ene side styrken af de enkelte koalitioner af spillere og på den anden spillets endelige resultat. Der sondres mellem spil med sidebetaling, i moderne terminologi TU-spil (transferable utility), hvor der afregnes internt i koalitionen, således at man kun behøver at interessere sig for, hvilket beløb koalitionen i alt kan sikre medlemmerne, og spil uden sidebetaling (NTU-spil), hvor dette ikke er muligt. De sidste er mest realistiske, idet payoff i de fleste anvendelser ikke kan måles simpelt i pengeenheder, men snarere i form af subjektiv og ikke-overførbar nytte; de første er simplere at analysere, så det er især for disse, at den kooperative spilteori har udviklet sit begrebsapparat.

Ved overvejelserne om, hvad der skal forstås ved en løsning til et spil, idet der søges en uddeling til de enkelte spillere af, hvad der i alt er til rådighed, kan der lægges vægt på flere hensyn, og især to har været fremherskende:

1) Effektivitetshensynet tilsiger, at i et kooperativt spil kan kun de fordelinger anses for stabile, for hvilke ingen koalition kan opnå noget bedre for sine medlemmer ved egne kræfter. Man siger, at disse fordelinger tilhører spillets kerne; kernen har som løsningsbegreb fået særdeles udbredt anvendelse, bl.a. i den økonomiske ligevægtsteori, hvor priser og markeder kan anskues som kerneløsninger til det kooperative spil, der fremkommer, når hver mulig koalition har mulighed for at reallokere egne resurser.

2) Alternativt kan der anlægges en betragtning, der baseres på fairness: En spillers endelige resultat bør afspejle, hvad spilleren er værd for de andre, dvs. spillerens bidrag til de forskellige koalitioner, som han eller hun kan deltage i, vejet sammen på passende måde.

En løsning, der tilgodeser disse hensyn, er Shapley-værdien, der som kernen har fundet udstrakt anvendelse såvel i spilteori som i dens anvendelser. Ved siden af disse to løsningsbegreber kan der dog opstilles adskillige andre.

Det ret store antal forskellige bud på, hvad der skal forstås ved en løsning til et kooperativt spil, har ført til, at der er arbejdet med en systematisering i form af opstilling af aksiomer og præcisering af løsningernes egenskaber, således at det vil være muligt ud fra de krav, der i den konkrete anvendelse stilles til en løsning, at finde frem til det løsningsbegreb, der passer til situationen.

Læs også om spilteori i biologien og om politisk spilteori.