areal

Arealet af et rektangel defineres som produktet af sidelængderne. Med dette udgangspunkt følger, at arealet af et parallelogram med højde \(h\) og grundlinje \(b\) er produktet \(h \cdot b \). Dette fås ved at afskære en retvinklet trekant i den ene ende af parallelogrammet og tilføje den til den anden ende. Derved dannes et rektangel med sidelængderne \(h\) og \(b\). En trekant med højde \(h\) og grundlinje \(b\) har arealet \(\frac{1}{2} \cdot h \cdot b\), idet to identiske trekanter kan sammensættes, så de danner et parallelogram med højde \(h\) og grundlinje \(b\). Arealet af en vilkårlig polygon kan beregnes ved at opdele polygonen i trekanter og addere alle trekanternes arealer.

For klassen af polygoner defineres arealbegrebet altså entydigt ved følgende fire krav:

1. Arealet af en delmængde af planen er altid et ikke-negativt reelt tal.
2. Arealet af et rektangel er produktet af sidelængderne.
3. Arealer er additive: Hvis to delmængder \(U\) og \(V\) af planen ikke har noget fælles indre punkt, så er areal \((U \cup V) =\) areal \((U)\) \(+\) areal \((V)\).
4. Arealet bevares ved flytninger.

Arealet af en plan figur kan bestemmes ved polygon-approksimation. Metoden blev allerede benyttet af Archimedes, der bl.a. viste, at arealet af en cirkelskive med radius \(r\) er \(\pi \cdot r^2\), og arealet af et parabelsegment med højde \(h\) og grundlinje \(b\) er \(\frac{2}{3} \cdot h \cdot b\).

Mere generelt kan man sige, at området mellem x-aksen og grafen for en positiv kontinuert funktion på et afsluttet, begrænset x-interval er Jordan-målelig, se Jordans kurvesætning. Arealet kan udregnes ved integration af den givne funktion over intervallet.

I målteorien udvides arealbegrebet til endnu større klasser af mængder end de her omtalte, se fladeareal. I praksis kan arealet af et forelagt plant område hurtigt estimeres ved hjælp af et planimeter eller ved at skære området ud i pap og veje det.

• målteori