trekantsuligheden

Det \(n\)-dimensionale reelle talrum \(\mathbb{R}^n\), der består af alle ordnede talsæt af \(n\) reelle tal \(x=(x_1, x_2, \dots, x_n)\), har en naturlig struktur som et vektorrum. Dette vektorrum kan udstyres med normen \[||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}},\] der er afledt af skalarproduktet \[x\cdot y = x_1y_1+\cdots +x_ny_n \] ved formlen \(||x||^2=x\cdot x\).

Normen kaldes den euklidiske norm, og \(\mathbb{R}^n\) med denne norm er den vigtigste realisering af et n-dimensionalt euklidisk rum.

Den euklidiske metrik i \(\mathbb{R}^n\) defineres ved formlen \(d(x,y)=||x-y||\).

Trekantsuligheden for den euklidiske norm giver følgende trekantsulighed for den euklidiske metrik:\[d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y) \quad \text{for alle} \quad x,y,z \in \mathbb{R}^n .\]

For \(n=2\) kan \(\mathbb{R}^2\) udstyret med den euklidiske norm og metrik identificeres med den euklidiske plan, og \(||x||\) er længden af vektoren \(x\) . Hvis man opfatter vektorerne \(x\), \(y\) og \(x+y\) som siderne i en trekant får man fra elementær geometri i planen om sidelængderne i en trekant, at \(||x+y|| \leq ||x|| + ||y||\). Deraf navnet trekantsuligheden.

• normeret vektorrum
• analytisk geometri
• metrisk rum