homologi

Homologi er et matematisk begreb i topologi; det optræder i studiet af de kvalitative egenskaber ved et geometrisk objekt. Fx kan forskellen mellem en kugleflade og en kugleflade med hanke karakteriseres præcist ved hjælp af homologi. Homologibegrebet optræder i adskillige matematiske discipliner.

Udgangspunktet er et geometrisk objekts system af cykler, dvs. lavere dimensionale dele af objektet, der løber tilbage i sig selv som en cirkel på en kugleflade. På en kugleflade er enhver cirkel rand af en "krum" cirkelskive, mens en cirkel, der løber rundt om hullet i en torus eller rundt om den, ikke er rand af et stykke af torusfladen. Generelt siges to cykler af dimension \(d\) i et geometrisk objekt at være homologe, hvis de tilsammen udgør randen af et delobjekt af dimension \(d+1\). En cykel, som i sig selv er en rand, er derfor homolog med \(0\) (den tomme cykel). På en kugleflade er enhver lukket kurve uden selvgennemskæringer homolog med \(0\); dette er ikke tilfældet på en torus på grund af hullet.

Grundlaget for en teori for homologi blev skabt omkring 1870 af den italienske matematiker Enrico Betti (1823-1892). Teorien blev præciseret og stærkt udvidet af franskmanden Henri Poincaré i en afhandling fra 1895 og videreført af russeren Lev Pontrjagin samt de tre amerikanske matematikere Oswald Veblen (1880-1960), James W. Alexander (1888-1971) og Solomon Lefschetz. Omkring 1925 fandt man den rigtige algebraiske formulering af teorien i form af de såkaldte homologigrupper. Beregning af disse grupper er vanskelig, men dog lettere end for de beslægtede grupper, der indføres i homotopiteori.