matematik

Verificeret
Artiklens indhold er godkendt af redaktionen.

Matematik. Kleins flaske er en lukket flade med kun en side (en såkaldt ikke-orienterbar flade), der optræder i geometrien. I tre dimensioner kan den kun realiseres, hvis man tillader, at den skærer sig selv. Den britiske glaspuster Alan Bennett har ladet sig inspirere af Kleins flaske til en række glasskulpturer. Længst tv. ses Kleins flaske. Begynder man på den tilsyneladende yderside og følger fladen langs halsen, ender man uden at krydse nogen kanter på indersiden: Flasken er altså ensidet. Hvis man skærer den op langs en passende kurve, får man det snoede Möbius-bånd, der er en todimensional flade med kun en side (anden fra venstre). Dernæst følger tre Kleins flasker inden i hinanden og endelig en variant af Kleins flaske med tre halse.

matematik, metode til at behandle tal (aritmetik) og figurer (geometri), efterhånden udviklet til en generel videnskab om abstrakte strukturer. Denne udvikling har været drevet dels af selve ønsket om abstraktion og generalisering, dels af forsøg på at løse forskellige problemer både af ren matematisk natur og problemer, der er opstået ved matematisk beskrivelse af naturen eller menneskeskabte fænomener. Derved er der opstået nye matematiske begreber og discipliner.

Ordet matematik kommer af græsk mathematike (techne), af mathema 'videnskab, kundskab', af manthanein 'lære'.

Historie

Matematikkens oprindelse fortaber sig i forhistorisk tid. Man har fundet geometriske mønstre på forhistoriske vaser og tegn på 30.000 år gammel tællevirksomhed (se også megalitisk matematik).

Oldtid og middelalder

De tidligst overleverede skriftlige kilder fra Egypten og Babylonien indeholder taltegn og fra ca. 2000 f.Kr. ganske avancerede algoritmer til at løse geometrisk-algebraiske problemer (se Babylonien (matematik) og Egypten i oldtiden (videnskab)). Også i Indien og Kina udvikledes tidligt matematik (se indisk matematik og kinesisk matematik).

symbol anvendelse betydning
{,...,} A = {1,2,3} mængden A består af elementerne 1, 2, 3
2 ∈ A tallet 2 er element i (tilhører eller er hørende til) mængden A (ovenfor)
4 ∉ A tallet 4 er ikke element i mængen A (ovenfor)
A ∩ {4} = ∅ den tomme mængde
| {x | x2 = 4} = {-2, 2} "for hvilke det gælder"
π ≡ O/d "er defineret som"
N N ≡ {1, 2, 3, ...} mængden af naturlige tal 
N0 N0 ≡ N ∪ {0} mængden af naturlige tal og tallet nul
Z Z ≡ {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} mængden af hele tal 
Q Q
≡ {p/q | p∈Z ∧ q∈N}
mængden af rationale tal 
R R = ]-∞;∞[ (se i øvrigt interval) mængden af reelle tal 
C C ≡ {ai+b | a,b∈R} mængden af komplekse tal 
AB mængden A er en delmængde af mængden B
AB mængden A er en ægte delmængde af mængden B
AB foreningsmængden (Unionsmængden) af A og B
AB fællesmængden af A og B
AB mængdedifferensen af A og B
A komplementærmængden til A
f: AB funktionen f afbilder (definitions)mængden A ind i (værdi)mængden B
= 2+3 = 3+2  lighedstegn
π ≈ 22/7 er tilnærmet, men ikke eksakt, lig med
2 ≠ 3 er forskellig fraer ulig; i en del programmeringssprog, fx Pascal, skrevet <>
> 5 > 3 større end
≥, >= x2 ≥ 0 (for alle x hørende til R) større end eller lig med
< 3 < 5 mindre end
≤, <= 2 ≤ 2 mindre end eller lig med
+ 2+2 = 4 plus (hér ifm. addition)
3−1 = 2 minus (hér ifm. subtraktion)
± 3±2 = 1 og 5 plus eller minus
−, / 3/2 = 1½ brøkstreg
/, ÷, : 6/2 = 3 division; bemærk, at ÷ også ses som subtraktionsoperatoren, dvs. som et minus
∙, ×, * 3∙4 = 12 multiplikation; man kan tit helt undlade operatoren, hvis det er uden fare for misforståelser
an 23 = 2∙2∙2 = 8 potens 
x √9 = 3 kvadratrod = den anden rod; defineret som værende et ikke-negativt tal
5 ≡ 8 (mod 3) er kongruente modulo  
| 3 | 9 går op i; er divisor i
π π = 3,14159265... pi, forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter
e e = 2,71828182... grundtallet for den naturlige logaritme 
φ φ = (√5 + 1)/2 = 1,61803398...
det gyldne snit
Fn F0 ≡ 0; F1 ≡ 1; Fn ≡ Fn-2 + Fn-1, n ≥ 2 det n'te Fibonaccital
i e+1 = 0 den imaginære enhed, "kvadratroden af -1"
1/x → ±∞ for x → 0 uendelig; også som -∞, "minus uendelig"
! 0! ≡ 1; n! ≡ n∙(n-1)!, n ≥ 1 fakultet 
Σ * sum 
Π * produkt
sfd sfd(15,25) = 5 største fælles divisor
mfm mfm(15,25) = 75 mindste fælles multiplum
´, d/dx, dy/dx For y=f(x)=x2 er f´(x)=dy/dx=2x differentialkvotient (afledet funktion)
* partiel afledet
∫x2 dx = x3/3 integral (stamfunktion)
| | |3| =|−3| = 3 numerisk (eller absolut) værdi
cos(x) → 1 for x → 0 cos(x) går mod 1, når x går mod 0 (NB: faktisk ér cos(0) = 1)
lim * limes (grænseværdi)
f gradienten af en funktion f, nabla 
f Laplace-operatoren af en funktion f
*:  Se eksemplet i illustrationen til artiklen matematiske symboler. Se også artiklen logik for yderligere symboler.

Pga. flere fællestræk ved disse tidlige kulturers matematik, bl.a. kendskab til Pythagoras' læresætning, har nogle forskere foreslået et fælles indoeuropæisk ophav til al matematik. De fleste mener dog, at store lokale variationer tyder på flere uafhængige udviklinger.

Det var med den græske matematik (se Grækenland i oldtiden (matematik)) efter 500 f.Kr., at matematikerne begyndte at insistere på, at matematiske resultater skulle bevises (deduceres) ud fra eksplicit formulerede forudsætninger (aksiomer). Dette aksiomatisk-deduktive ideal blev videregivet til Europa af araberne (se arabisk matematik) og er et særkende ved al moderne matematik.

I slutningen af middelalderen fik europæerne kendskab til den arabiske algebra og trigonometri samt til de græske geometriske og talteoretiske klassikere (se middelalderen (matematik)), og fra ca. 1500 begyndte de at bidrage med selvstændige resultater. Fra dette tidspunkt og til ca. 1940 var Europa centrum for den matematiske udvikling.

Renæssancen

Den første store europæiske landvinding i renæssancen var Scipione del Ferros (1465-1526) og N. Tartaglias opdagelse af løsningsalgoritmen for tredjegradsligningen. Denne metode, som araberne forgæves havde søgt efter, blev udgivet i G. Cardanos Ars Magna (1545) sammen med Ludovico Ferraris (1522-65) løsning af fjerdegradsligningen. I formlen for tredjegradsligningens løsning vil der ofte optræde kvadratrødder af negative tal. Derfor udviklede Rafael Bombelli (1526-72) i sin algebra fra 1572 en teori for, hvordan man kan regne med sådanne komplekse tal. De blev dog af mange anset for ret mystiske, indtil bl.a. C. Wessel, C.F. Gauss og J.R. Argand omkring 1800 viste, hvordan de kan anskues som punkter i en plan.

Matematik. C.F. Gauss, der gav grundlæggende bidrag til bl.a. differentialgeometrien og talteorien, er en af de store matematikere, som nyder bred berømmelse også uden for fagkredse. I 1840 blev han malet af den danske portrætmaler C.A. Jensen. Maleriet indgår i rækken af 11 dalevende internationale videnskabsmænd, som Jensen fik bestilling på at male til det nyåbnede Pulkovo-observatorium ved Sankt Petersborg. Portrættet anvendes i dag (spejlvendt) på de tyske timarksedler.

Mange matematiske landvindinger i renæssancen blev udviklet i forbindelse med anvendelser inden for forskellige områder som perspektivtegning, musikteori, navigation og korttegning. Især astronomi gav anledning til interesse for plan og sfærisk geometri, som det bl.a. gav sig udslag i J. Regiomontanus' De Triangulis fra 1464 (trykt 1533).

Selvom regning på papir med de hindu-arabiske taltegn i løbet af 1500-t. fortrængte regning på abacus og romertallene, og selvom Simon Stevin (1548-1620) i 1585 genopdagede brugen af decimalbrøker (de havde været brugt af nogle arabere), var det stadig tidskrævende at udføre de multiplikationer af store tal, som var nødvendige i astronomi. Dette problem blev afhjulpet ved J. Napiers og Joost Bürgis (1552-1632) uafhængige opdagelse af logaritmerne i begyndelsen af 1600-t.

1600-t.

Den naturvidenskabelige revolution i 1600-t. fik også betydning for matematikken, som med Galileis og Newtons arbejder blev mekanikkens sprog. De to største landvindinger inden for matematikken var den analytiske geometri (koordinatgeometri) og differential- og integralregningen.

I La Géométrie (1637) forklarede Descartes i forlængelse af F. Viètes analytiske arbejder, hvordan geometriske problemer kan analyseres med algebraiske metoder. Specielt viste han, hvordan kurver kan tilknyttes ligninger i to variable (koordinaterne til et variabelt punkt på kurven). Dermed åbnede han for et algebraisk analytisk studium af kurver. Han viste selv styrken af denne analytiske geometri ved at give en metode til at bestemme normaler (og dermed tangenter) til kurver. Andre tangentmetoder blev foreslået på samme tid af bl.a. E. Torricelli, G.P. Roberval (1602-75) og P. de Fermat.

Mange matematikere, bl.a. F.B. Cavalieri (1598-1647), Roberval, Fermat, Pascal og J. Wallis, fandt også metoder til at bestemme arealer, rumfang og tyngdepunkter af flere figurer end dem, grækerne kunne behandle. Fælles for de fleste af disse metoder var, at fx et areal blev opfattet som en sum af uendelig mange linjestykker (indivisibler) eller uendelig mange uendelig tynde rektangler (infinitesimaler). Disse idéer stred mod det græske ideal om streng bevisførelse uden brug af uendeligheder, som det kom til udtryk i exhaustionsbeviset. De fleste ledende matematikere mente dog, at det var tilladeligt at benytte metoderne til at finde nye resultater. Enkelte så også forbindelsen mellem tangent og arealbestemmelse (især I. Barrow, 1630-77), men denne sammenhæng blev først klart afdækket med Newtons fluxionsregning (1666) og Leibniz' differential- og integralregning (1675).

Med disse infinitesimalregninger skabtes to kalkuler, som tillod en ofte mekanisk og uniform behandling ikke bare af tangent- og arealbestemmelser, men også af fx differentialligninger, der blev formuleret eksplicit i 1690'erne.

Mange andre emner blev behandlet i 1600-t., men i mindre omfang: G. Desargues (1636) og Pascal (1640) tog de første skridt inden for projektiv geometri, Fermat gav banebrydende bidrag til talteorien, Pascal og W. Schickard (1592-1635) opfandt de første mekaniske regnemaskiner, og Fermats og Pascals brevveksling om hasardspil samt C. Huygens' lille bog herom markerer begyndelsen til sandsynlighedsregningen.

1700-t.

I 1700-t. blev differential- og integralregningen konsolideret og især udbygget med discipliner som variationsregning, differentialligninger (ordinære og partielle) og uendelige rækker (der også havde været behandlet i 1600-t.). Herved opstod den matematiske analyse. Analysen blev udviklet i en vekselvirkning med anvendelser inden for især astronomi og mekanik. De centrale personer i denne udvikling var brødrene Jacob og Johann Bernoulli, Euler, d'Alembert, Lagrange og Laplace. Hvor matematikerne i 1600-t. mest havde dyrket faget som en hobby, var 1700-t.s matematikere oftest ansat ved akademier, især ved de betydningsfulde videnskabsakademier i Paris, Berlin og Sankt Petersborg. Ud over analyse videreudvikledes sandsynlighedsregningen, talteorien og med Lagrange teorien for løsning af ligninger.

1800-t.

Matematik. Anvendelser af matematik kan vise sig i uventede retninger. Fx spiller talteori en stor rolle inden for kryptologien. Her ses kodemaskinen ENIGMA, der blev anvendt af den tyske værnemagt under 2. Verdenskrig. Den britiske regerings kodecenter i Bletchley Park, hvor bl.a. skakspillere og matematikere var ansat, fik til opgave at bryde koden. Matematikeren Alan Turing spillede en afgørende rolle i den logiske analyse af ENIGMAs virkemåde og for udviklingen af en maskine, der ved at gennemprøve et begrænset antal muligheder kunne afkode beskederne.

Med udgangspunkt i Lagranges undersøgelser viste N.H. Abel (1826), at der ikke findes en løsningsformel for den generelle femtegradsligning i stil med de formler, der var fundet for ligninger af lavere grad. Kort efter viste É. Galois, at løsbarhed af en given polynomiumsligning kan afgøres ved at studere en bestemt gruppe, den såkaldte Galoisgruppe. Hans vigtige resultater blev kendt omkring midten af århundredet og fik stor indflydelse på algebraens udvikling. Denne udvikling blev ligeledes stærkt påvirket af Gauss' Disquisitiones Arithmeticae (1801) og af forsøgene på at bevise Fermats store sætning. Resultatet var, at fra at være et studium af ligninger blev algebraen et studium af algebraiske strukturer såsom grupper, ringe og legemer.

En lignende udvikling kan spores inden for geometrien. Hvor matematikerne omkring 1800 var enige med Kant om, at rummets geometri a priori var euklidisk, førte de mislykkede forsøg på at bevise parallelaksiomet til en erkendelse af, at der findes andre geometrier (såkaldte ikke-euklidiske geometrier), som ikke opfylder parallelaksiomet. Gauss, N. Lobatjevskij og J. Bolyai udviklede sådanne geometrier i 1830'erne, og B. Riemann (1854) udbyggede idéerne ved at generalisere differentialgeometriske begreber indført af Gauss i 1827. Disse idéer blev kendt omkring 1870. Sideløbende med denne udvikling blev projektiv geometri efter 150 års dvale taget op af J.V. Poncelet og videreudviklet af bl.a. J. Plücker (1801-68), K.G.C. von Staudt (1798-1867) og M. Chasles. De forskellige geometrier blev klassificeret vha. gruppebegrebet i F. Kleins Erlangen-program, ligesom aksiomsystemet for den euklidiske geometri endelig blev gjort fuldstændigt af bl.a. D. Hilbert (1899).

I 1800-t. blev matematisk forskning mest udført af lærere ved universiteter og højere læreanstalter. Det blev normalt, at universiteterne tilbød undervisning i avanceret matematik. Denne kobling mellem forskning og undervisning førte bl.a. til, at flere lærere, der underviste i differential- og integralregning, fandt det eksisterende grundlag for analysen utilstrækkeligt. Bl.a. A.L. Cauchy, R. Dedekind og K. Weierstrass lagde dermed grunden til en stringent aritmetisering af analysen. Bl.a. blev de reelle tal konstrueret, og kontinuitet (og uniform kontinuitet) af funktioner samt konvergens af følger og uniform konvergens af funktionsfølger præcist defineret.

Desuden skete store tekniske landvindinger inden for analyse. Således grundlagdes den komplekse funktionsteori af Cauchy, Riemann og Weierstrass, bl.a. i forbindelse med de af Abel og C.G. Jacobi indførte elliptiske funktioner, og G. Cantor udviklede sin teori for uendelige mængder. En del teorier opstod i sammenhæng med anvendelser, bl.a. Fourieranalyse (varmeledning) og Stokes' sætning (hydro- og elektrodynamik). Også sandsynlighedsregningen blev gjort analytisk af bl.a. Laplace.

Et af de gennemgående karakteristika for matematikken i 1800-t. var, at den i stadig højere grad fokuserede på kvalitative egenskaber. Fx i differentialligningsteorien blev eksistens- og entydighedssætninger centrale, og løsningernes kvalitative opførsel studeredes af bl.a. C.F. Sturm og J. Liouville og senere af H. Poincaré i forbindelse med ikke-lineære ligninger. Dette samt kvalitative geometriske overvejelser ledte i slutningen af århundredet til topologiens fødsel som disciplin.

1900-t.

I 1900-t. er der blevet udviklet mere matematik end i alle tidligere århundreder tilsammen. Mange konkrete problemer er blevet løst, (bl.a. de fleste af Hilberts problemer, se David Hilbert), og matematikken har fået en hidtil uset abstrakt karakter, bl.a. byggende på mængdelæren.

Milepæle i matematikkens udvikling i 1900-t.
1902 H. Lebesgue introducerer sit integralbegreb
1908 H. Minkowski introducerer det firedimensionale rum-tids-begreb i forbindelse med Einsteins relativitetsteori
1911 L.E.J. Brouwer beviser dimensionsbegrebets topologiske invarians: Talrummene Rn og Rm er kun homeomorfe når n = m
1914 F. Hausdorff publicerer Grundzüge der Mengenlehre
1921 N. Wiener giver en matematisk beskrivelse af Brownske bevægelser
1923 H. Bohr udvikler teorien for næsten-periodiske funktioner
1931 K. Gödel beviser aritmetikkens ufuldstændighed
1933 Kolmogorov formulerer det målteoretiske grundlag for sandsynlighedsregningen
1934 A.O. Gelfond og T. Schneider beviser, at visse tal af formen ab er transcendente (et af Hilberts problemer)
1936 A.N. Turing udvikler begrebet Turingmaskine
1937 I. Vinogradov beviser, at ethvert tilstrækkeligt stort ulige tal er en sum af 3 ulige primtal (jf. Goldbachs formodning)
1940 K. Gödel beviser, at kontinuumshypotesen er konsistent med de sædvanlige aksiomer for mængdelæren
1944 S. Kakutani beviser en nøje sammenhæng mellem Brownske bevægelser og potentialteori
1949 A. Weil beviser Riemanns hypotese for funktionslegemer over endelige legemer
1950 L. Schwartz publicerer sin bog om distributionsteori
1956 H. Cartan og S. Eilenberg publicerer Homological Algebra
1957 J. Milnor beviser, at der findes forskellige differentiable strukturer på en 7-dimensional sfære
1960 S. Smale beviser Poincarés formodning for kugleflader af dimension n ≥ 5. F. Adams løser Hopf-invariant-problemet, som bl.a. viser, at de eneste kugleflader med trivielt tangentbundt er kuglefladerne af dimension 1, 3 og 7, og at de eneste talrum med en multiplikation uden nuldivisorer er talrummene af dimension 1, 2, 4 og 8
1963

 
P.J. Cohen beviser, at udvalgsaksiomet og kontinuumshypotesen ikke følger af mængdelærens sædvanlige aksiomer
M.F. Atiyah og I.M. Singer annoncerer banebrydende resultater om index for elliptiske operatorer på mangfoldigheder
1965 S. Novikov beviser, at Pontrjagin-klasserne for en differentiabel mangfoldighed er topologiske invarianter
1966 A. Grothendieck modtager Fields-medaljen for sine nyskabelser i algebraisk geometri
1973 P. Deligne beviser André Weils formodning om algebraiske mangfoldigheder
1976 K. Appel og W. Haken beviser firefarve-problemet under inddragelse af computerverifikation
1980 Klassifikationen af alle endelige simple grupper afsluttes
1982

 
S. Donaldson beviser, at blandt talrummene Rn er tilfældet n = 4 det eneste med forskellige differentiable strukturer
M. Freedman beviser Poincarés formodning for kugleflader af dimension 4
1983 G. Faltings beviser Mordells formodning angående rationale punkter på algebraiske mangfoldigheder - det første større skridt i dette århundrede imod beviset for Fermats store sætning
1984 L. de Branges beviser Bieberbachs formodning
1994 A. Wiles beviser Fermats store sætning

I 1900-t.s begyndelse satte en række paradokser (bl.a. Russells paradoks) spørgsmålstegn ved mængdelærens grundlag, som blev præciseret i Zermelo-Fraenkels aksiomer. Det blev påvist, at det såkaldte udvalgsaksiom implicit indgår i mange matematiske resultater, og fundamentale resultater af K. Gödel og P.J. Cohen afklarede, at udvalgsaksiomet såvel som kontinuumshypotesen har samme status i mængdelæren som parallelaksiomet i geometrien.

De klassiske discipliner algebra, geometri og matematisk analyse udviklede sig i mange retninger ved indgående studier af abstrakte strukturer, som ofte er blevet grundlaget i moderne fremstillinger af matematik. Studiet af de abstrakte strukturer bygger på et væld af nye begreber, hvilket har medført et stigende krav om specialisering, og det er blevet vanskeligt for matematikere med forskellige specialer at forstå hinanden. På den anden side har abstraktionerne åbenbaret mange sammenhænge mellem tilsyneladende helt forskellige områder og samtidig gjort det muligt at simplificere tidligere vanskeligt tilgængelige resultater.

Inden for algebraen er klassifikationen af de endelige simple grupper og beviset for Fermats store sætning to af århundredets store landvindinger.

Den matematiske analyse har fået mængdetopologi som abstrakt fundament for en almen beskrivelse af grænseværdi og kontinuitet. Dette fundament er også blevet udgangspunkt for studiet af mangfoldigheder, herunder den moderne differentialgeometri, og for den algebraiske topologi. På den anden side har metoder fra topologi givet anledning til nye algebraiske teorier som homologisk algebra og kategoriteori. Udviklingen af mål- og integralteori og distributionsteori har mangedoblet den matematiske analyses anvendelsesmuligheder og stimuleret funktionalanalysens udvikling.

Inden for fysikken har relativitetsteorien kunnet udnytte differentialgeometrien, og i 1900-t.s sidste halvdel har der været en livlig påvirkning mellem teoretisk fysik og differentialgeometri og Lie-grupper. På lignende vis har kvantemekanikken udnyttet funktionalanalysen, og den har været inspirationskilde for væsentlige områder af operatorteori og operatoralgebra. Også teorien for dynamiske systemer, fraktaler og kaos har rødder i den teoretiske fysik. Disse områder har også nydt godt af udviklingen af kraftige computere, som endvidere har ført til en opblomstring i diskret matematik, bl.a. kombinatorik og grafteori. Computerne har revolutioneret numerisk analyse, og mulighederne for symbolsk manipulation er gradvis ved at blive udnyttet inden for mange andre områder af matematikken.

Læs mere om matematik i underemnerne nedenfor.

 

Find bøger

   
   Find Lydbøger
hos Storytel
   Find bøger
bogpriser.dk
   Studiebøger
pensum.dk
   Læs e-bøger
hos Ready

 

© Dette billede må du ...

Matematik. C.F. Gauss, der gav grundlæggende bidrag til bl.a. differentialgeometrien og talteorien, er en af de store matematikere, som nyder bred berømmelse også uden for fagkredse. I 1840 blev han malet af den danske portrætmaler C.A. Jensen. Maleriet indgår i rækken af 11 dalevende internationale videnskabsmænd, som Jensen fik bestilling på at male til det nyåbnede Pulkovo-observatorium ved Sankt Petersborg. Portrættet anvendes i dag (spejlvendt) på de tyske timarksedler.

© Dette billede må du ...

Matematik. Kleins flaske er en lukket flade med kun en side (en såkaldt ikke-orienterbar flade), der optræder i geometrien. I tre dimensioner kan den kun realiseres, hvis man tillader, at den skærer sig selv. Den britiske glaspuster Alan Bennett har ladet sig inspirere af Kleins flaske til en række glasskulpturer. Længst tv. ses Kleins flaske. Begynder man på den tilsyneladende yderside og følger fladen langs halsen, ender man uden at krydse nogen kanter på indersiden: Flasken er altså ensidet. Hvis man skærer den op langs en passende kurve, får man det snoede Möbius-bånd, der er en todimensional flade med kun en side (anden fra venstre). Dernæst følger tre Kleins flasker inden i hinanden og endelig en variant af Kleins flaske med tre halse.

Viser 3 af 3 billeder

Nyhedsbrev

Om artiklen

Seneste 3 forfattere
Uffe Rasmussen
14/10/2013
Redaktionen
07/10/2013
Uffe Rasmussen
13/08/2013
Oprindelig forfatter
JLut
01/02/2009

© Gyldendal 2009-2014 - Powered by MindTouch Deki