Med udgangspunkt i Lagranges undersøgelser viste N.H. Abel (1826), at der ikke findes en løsningsformel for den generelle femtegradsligning i stil med de formler, der var fundet for ligninger af lavere grad. Kort efter viste É. Galois, at løsbarhed af en given polynomiumsligning kan afgøres ved at studere en bestemt gruppe, den såkaldte Galoisgruppe. Hans vigtige resultater blev kendt omkring midten af århundredet og fik stor indflydelse på algebraens udvikling. Denne udvikling blev ligeledes stærkt påvirket af Gauss' Disquisitiones Arithmeticae (1801) og af forsøgene på at bevise Fermats store sætning. Resultatet var, at fra at være et studium af ligninger blev algebraen et studium af algebraiske strukturer såsom grupper, ringe og legemer.
En lignende udvikling kan spores inden for geometrien. Hvor matematikerne omkring 1800 var enige med Kant om, at rummets geometri a priori var euklidisk, førte de mislykkede forsøg på at bevise parallelaksiomet til en erkendelse af, at der findes andre geometrier (såkaldte ikke-euklidiske geometrier), som ikke opfylder parallelaksiomet. Gauss, N. Lobatjevskij og J. Bolyai udviklede sådanne geometrier i 1830'erne, og B. Riemann (1854) udbyggede idéerne ved at generalisere differentialgeometriske begreber indført af Gauss i 1827. Disse idéer blev kendt omkring 1870. Sideløbende med denne udvikling blev projektiv geometri efter 150 års dvale taget op af J.V. Poncelet og videreudviklet af bl.a. J. Plücker (1801-68), K.G.C. von Staudt (1798-1867) og M. Chasles. De forskellige geometrier blev klassificeret vha. gruppebegrebet i F. Kleins Erlangen-program, ligesom aksiomsystemet for den euklidiske geometri endelig blev gjort fuldstændigt af bl.a. D. Hilbert (1899).
I 1800-tallet blev matematisk forskning mest udført af lærere ved universiteter og højere læreanstalter. Det blev normalt, at universiteterne tilbød undervisning i avanceret matematik. Denne kobling mellem forskning og undervisning førte bl.a. til, at flere lærere, der underviste i differential- og integralregning, fandt det eksisterende grundlag for analysen utilstrækkeligt. Bl.a. A.L. Cauchy, R. Dedekind og K. Weierstrass lagde dermed grunden til en stringent aritmetisering af analysen. Bl.a. blev de reelle tal konstrueret, og kontinuitet (og uniform kontinuitet) af funktioner samt konvergens af følger og uniform konvergens af funktionsfølger præcist defineret.
Desuden skete store tekniske landvindinger inden for analyse. Således grundlagdes den komplekse funktionsteori af Cauchy, Riemann og Weierstrass, bl.a. i forbindelse med de af Abel og C.G. Jacobi indførte elliptiske funktioner, og G. Cantor udviklede sin teori for uendelige mængder. En del teorier opstod i sammenhæng med anvendelser, bl.a. Fourieranalyse (varmeledning) og Stokes' sætning (hydro- og elektrodynamik). Også sandsynlighedsregningen blev gjort analytisk af bl.a. Laplace.
Et af de gennemgående karakteristika for matematikken i 1800-tallet var, at den i stadig højere grad fokuserede på kvalitative egenskaber. Fx i differentialligningsteorien blev eksistens- og entydighedssætninger centrale, og løsningernes kvalitative opførsel studeredes af bl.a. C.F. Sturm og J. Liouville og senere af H. Poincaré i forbindelse med ikke-lineære ligninger. Dette samt kvalitative geometriske overvejelser ledte i slutningen af århundredet til topologiens fødsel som disciplin.
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.