Fibonaccital

Fibonaccital er en talfølge, som er dannet ud fra det princip, at det efterfølgende element findes som summen af de to foregående, dvs. \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\). De to første Fibonaccital er 0 og 1, og de tolv første bliver således 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Et vilkårligt Fibonaccital kan beregnes eksplicit som \[F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)\]

Fibonaccitallene har mange interessante egenskaber. For eksempel gælder formlen \[F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\] Denne formel har fundet mange anvendelser; det simpleste eksempel er antallet af måder, hvorpå man kan lægge fliser af mål 1×2 på en flisegang af bredde 2 og længde \(n\); løsningen hertil er det \(n+1\)'te Fibonnacital.

Forholdet \(\frac{F_n}{F_{n-1}}\) nærmer sig det gyldne snit, når \(n\) vokser mod uendelig.