ligning (matematisk begreb)

En ligning er i matematik en formel, der udtrykker, at to størrelser er ens. At to og to er fire, udtrykkes ved ligningen \(2+2 = 4\). I ligninger indgår ofte variable eller ubekendte. De værdier af de variable, for hvilke ligningen er opfyldt, siges også at være løsninger til ligningen. De variable er ikke nødvendigvis tal; fx vil løsningerne til en differentialligning være funktioner.

Regneregler for ligninger:

Lad \(a\), \(b\), og \(c\) være vilkårlige reelle eller komplekse tal. For disse tal gælder nedenstående regneregler:

1. \(a = b \Rightarrow a + c = b + c\) (addition)

2. \(a = b \Rightarrow a – c = b – c\) (subtraktion)

3. \(a = b \Rightarrow ac = bc\) (multiplikation)

4. \(a = b \Rightarrow a/c = b/c\) (division)

Ud fra ovenstående kan man uddrage, at man må addere og subtrahere det samme tal på begge sider af lighedstegnet, således at dette igen bliver en lighed. Endvidere må man multiplicere og dividere det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Dog må der ikke divideres ved 0 under nogen omstændigheder.

Som en huskeregel kan man anskue en ligning som en balancevægt. Dvs., at man balancerer ligningen ved at udføre de samme operationer på begge sider af lighedstegnet.

Løsning af en ligning:

For at løse en ligning er man nødt til at isolere den ubekendte variabel \(x\) på ligningens venstre side. Ser vi fx. nærmere på en ligning af formen: \[2x + 3 = 7\] skal \(x\) isoleres på venstre side af lighedstegnet. Det gøres ved først at trække 3 fra på begge sider af lighedstegnet. Her anvendes regnereglen om, at man må subtrahere det samme tal på begge sider af lighedstegnet. \[2x + 3 -3 = 7 – 3.\] Ligningen ser nu således ud: \[2x = 4.\] Derefter divideres med 2 på begge sider af lighedstegnet: \[2x/2 = 4/2.\] Den oprindelige ligning ser nu såldes ud: \[x = 2\] og er hermed løst, da \(x\) er isoleret. For at tjekke om \(x = 2\) er den korrekte løsning til ligningen, kan man indsætte dette tal i stedet for \(x\) i den oprindelige ligning.

Ligninger er ofte simple udtryk for komplicerede sammenhænge. For en retvinklet trekant med kateter \(a\) og \(b\) og hypotenuse \(c\) kan Pythagoras' sætning fx udtrykkes ved ligningen \(a^2+b^2=c^2\).

Løsningerne til en differentialligning \(f′ = kf\) er de funktioner \(f\), der beskriver eksponentiel vækst.

Einsteins resultat om omsættelighed mellem energi, \(E\), og masse, \(m\), kan udtrykkes ved ligningen \(E = mc^2\), hvor \(c\) er lyshastigheden.