Eulers formel
er et matematisk udtryk, der sammenknytter eksponentialfunktionen med de trigonometriske funktioner. Formlen, der er opstillet i 1740'erne, lyder \[e^{x+iy}=e^x(\cos{y}+i\sin{y})\] hvor \(x\) og \(y\) er reelle tal og \(i=\sqrt{-1
er et matematisk udtryk, der sammenknytter eksponentialfunktionen med de trigonometriske funktioner. Formlen, der er opstillet i 1740'erne, lyder \[e^{x+iy}=e^x(\cos{y}+i\sin{y})\] hvor \(x\) og \(y\) er reelle tal og \(i=\sqrt{-1
formel \[(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi\] og Eulers formel \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\) anledning til formlerne \[\cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}\quad \text
gælder \(e = 2,718281828459 ...\) . I 1873 viste Charles Hermite, at \(e\) er et transcendent tal. Tallene \(\pi\) (pi) og \(e\) er matematikkens to vigtigste konstanter. De indgår i formlen \(e^{i\pi}=-1\), der er et specialtilfælde af Eulers formel.
T\) (fordoblingstiden), er fastlagt ved \(k=\frac{\ln{(2)}}{T}\). Ved ovenfor viste rækkeudvikling kan eksponentialfunktionen defineres for komplekst \(x\), hvorved den bliver en holomorf funktion, se Eulers formel. Læs mere i Den Store Danske kontinuert funktion holomorf funktion logaritme
Euler betragtede de elementære funktioner, fx \(\sin x\), for komplekse værdier af den variable \(x\) (jf. Eulers formel), men en egentlig teoridannelse blev først givet af Cauchy i 1820'erne og udbygget af Riemann og Weierstrass. Det grundlæggende begreb i
Eulers hovedværk Introductio in analysin infinitorum fra 1748, hvor han definerede: "En funktion af en variabel størrelse er et analytisk udtryk, som på en eller anden måde er sammensat af denne variable størrelse og af tal eller konstante størrelser". For Euler var et analytisk udtryk en formel
Euler i 1748 giver en formel til at udregne Legendres symbol, nemlig \[\left( \frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\ (\text{mod}\ p) .\] Specielt vil \(-1\) være kvadratisk rest modulo \(p\), netop når \(p \equiv 1\ (\text{mod
formel" for det n'te primtal. Hvis man kender primtallene på forhånd, kan man konstruere en formel, men sådanne formler er uden praktisk interesse. L. Euler fandt i 1772 polynomiet x2−x+41, der for alle 80 heltallige værdier af
Euler (ikke at forveksle med Eulertal). Et kombinatorisk argument for en formel består i, at en given mængde tælles på to måder. Da det var samme mængde, må de to summer være ens. Et eksempel er antallet af delmængder af
Euler gav en generel beskrivelse af hydrostatikken og -dynamikken, ligesom stive legemers bevægelser fik en formel og praktisk anvendelig beskrivelse, bl.a. ved indførelsen af forskellige formuleringer af impulsmomentsætningen. P.S. Laplace beskrev detaljeret den celeste mekanik, og W.R. Hamilton påviste, at