binomialkoefficient
Binomialkoefficienten er koefficienten til \(x^k\) i binomialformlen for\((1+x)^n\). Der gælder \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdot
Binomialkoefficienten er koefficienten til \(x^k\) i binomialformlen for\((1+x)^n\). Der gælder \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdot
binomialkoefficient. Et eksempel er møntkast med to mulige udfald "plat" og "krone", hvor \(p=\frac{1}{2}\) (medmindre mønten er skæv). Her er sandsynligheden for at få "krone" præcis \(5 (k)\) gange i \(10 (n)\) kast med en normal mønt
binomialkoefficienter som summer af produkter af mindre binomialkoefficienter. Formlen lyder: \({x+y \choose n} = {x \choose 0}{y \choose n} + {x \choose 1}{y \choose n-1} + \dots + {x \choose n-1}{y \choose 1} + {x \choose n}{y \choose
binomialkoefficienten, \({n \choose k}\). Et tilsvarende problem er at bestemme antallet af \(k\)-permutationer eller \(k\)-arrangementer, der består af sæt af \(k\) elementer i en bestemt rækkefølge. Løsningen er \(k\)-faktoriellen af \(n\), \[|n|_k = {n \choose k} \cdot
binomialkoefficienter. For Bernoulli-polynomierne er rekursionen defineret ved \(B_0 = 1\) og \(B'_n(x) = nB_{n-1}(x)\) samt reglen, at \[\int^1_0 B_n(x)dx = 0\] for \(n>0\) bestemmer konstantleddet \(B_0(x)\). Bernoulli
binomialkoefficient \[{n \choose k}, k=0, 1, \dots, n.\] Er \(n\) ikke et naturligt tal, udregnes \((1+x)^n\) som summen af den uendelige række kaldet binomialrækken \[(1+x)^n = 1 + \frac{n}{1}x + \frac{n(n-1)}{1 \cdot
betegner antallet af rækkefølger, man kan stille \(n\) genstande i, hvorfor det spiller en central rolle i kombinatorik. Fakultet indgår også i definitionen af binomialkoefficient. Betegnelsen fakultet stammer fra 1808 efter forslag fra den tyske matematiker Christian Kramp (1760-1826).
binomialkoefficienter som en diskret analogi til Taylors formel: hvor Δf(0) = f(1)−f(0), Δ2f(0) = Δf(1)−Δf(0), osv. (se differensregning). Hvis man vil tillade punkterne at være ens, kan man definere et interpolationspolynomium på samme form
kombinationer fra en mængde med \(n\) elementer er binomialkoefficienten: \[{ n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)}{k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdot ... \cdot 1}\] Kombinationer er basale i kombinatorik.
af en flerleddet størrelse: hvor der summeres over alle sæt \(v_1,v_2,...,v_p\) af naturlige tal med sum \(n\). Formlen er en generalisering (der tilskrives Leibniz) af binomialformlen, og koefficienterne har en lignende kombinatorisk tolkning (se binomialkoefficient).