Fourieranalyse

Verificeret
Artiklens indhold er godkendt af redaktionen.

Fourieranalyse. Grafen for den rene svingning r sin(px−q) med bølgelængde L = 2π/p og amplitude r.

Fourieranalyse, (efter J. Fourier), matematisk teori fra 1800-t. om fremstilling af funktioner ved Fourierrækker eller Fourierintegraler. I begge tilfælde drejer det sig om at "opbygge" funktioner ud fra simple funktioner r sin(px−q), som beskriver rene svingninger med amplitude r og bølgelængde (periode) L = 2π/p.

Fra lydlære ved man, at en tone består af en grundtone og en række overtoner, hvis frekvenser er hele multipla af grundtonens frekvens. Den svingning, der frembringer tonen, beskrives matematisk ved en funktion f af formen 
 

191529.401.jpg

Grundtonens frekvens er lig med lydens hastighed divideret med L = 2π/p. Fourieranalyse af en tone har til formål at bestemme tallene rn og qn, som fastlægger overtonernes styrke og variation, og som er bestemmende for tonens klang.

Fourierrækker

Enhver funktion f af formen (1) er periodisk med periode L, dvs. f (x+L) = f (x ) for alle x tilhørende de reelle tal. I det følgende foretages en normering, så p = 1, dvs. L = 2π. Fra et matematisk synspunkt vil en tone kunne indeholde uendelig mange overtoner, svarende til at N kan blive vilkårlig stor. Fourier forsøgte at fremstille en vilkårlig reel periodisk funktion f som en sum (1) med uendelig mange led. Idet additionsformlen for sinus medfører, at rn sin(nx−qn) kan omskrives til an cosnx + bn sinnx, søger man altså at fremstille f som 

191529.402.jpg

som kaldes Fourierrækken for f. Man kan vise, at Fourierkoefficienterne an, bn skal vælges ved formlerne 

191529.403.jpg

Fourier hævdede, at enhver periodisk funktion kan fremstilles ved sin Fourierrække. En vigtig opgave i matematikken har været at præcisere, under hvilke omstændigheder Fouriers udsagn er rigtigt. Det er naturligvis nødvendigt at forudsætte, at funktionen f har sådanne egenskaber, at integralerne (2) og (3) har mening. P.L. Dirichlet gav i 1829 som den første et bevis for rigtigheden, når f er kontinuert og stykkevis monoton. På den anden side gav P. Du Bois-Reymond i 1873 et eksempel på en kontinuert funktion, hvis Fourierrække divergerer i et punkt x. Først i 1966 lykkedes det L. Carleson at vise, at Fourierrækken for en kontinuert funktion konvergerer mod f (x) næsten overalt, dvs. bortset fra x i en lille undtagelsesmængde (af Lebesgue-mål 0).

Ved Eulers formler kan Fourierrækken omskrives til en række af formen

191529.404.jpg

Fourierkoefficienterne opfylder Bessels ulighed
191529.405.jpg

og hvis summen udstrækkes fra −∞ til ∞, gælder lighedstegn (Parsevals formel).

Fourierintegraler

Funktioner f, der ikke er periodiske, forsøger man at fremstille ved Fourierintegralet 

191529.406.jpg

der er en kontinuert analog til (4), idet  

191529.407.jpg

er en funktion, der modsvarer Fourierkoefficienterne (5). Funktionen 2πc kaldes den Fouriertransformerede af f, og den betegnes ϝ(f). Dermed bliver ϝ en afbildning fra funktioner af en reel variabel til funktioner af en reel variabel, kaldet Fouriertransformationen. Der er i 1900-t. udviklet en omfattende teori for gyldigheden af formlerne (6) og (7) byggende på Lebesgues integralteori fra 1902.

Kommutativ harmonisk analyse

Sådan kaldes den abstrakte Fourieranalyse, som udvikledes i 1930'erne. I denne teori betragtes Fourierrækker, Fourierintegraler og næsten-periodiske funktioner som specialtilfælde af funktionsteori på visse kommutative grupper, hvor der eksisterer et invariant mål kaldet Haar-målet (efter den ungarske matematiker A. Haar, 1885-1933).

 

Find bøger

   
   Find Lydbøger
hos Storytel
   Find bøger
bogpriser.dk
   Studiebøger
pensum.dk
   Læs e-bøger
hos Ready

 

Hvad er et tag? Tags er artiklens nøgleord. Artikler med et fælles tag findes ved at klikke på tagget. Når du er logget ind, kan du tilføje tags og dermed skabe sammenhænge.
Nyhedsbrev

Om artiklen

Seneste 3 forfattere
Redaktionen
26/10/2012
Bodil Hammer
23/02/2009
Redaktionen
23/02/2009
Oprindelig forfatter
CBer
30/01/2009

© Gyldendal 2009-2014 - Powered by MindTouch Deki