logistisk vækst

© Dette billede må du ...

Logistisk vækst. Graf for størrelsen N af en population, hvis vækst er beskrevet af den logistiske ligning; t er tiden. Kurven kaldes den logistiske kurve. Den største væksthastighed indtræffer, når populationsstørrelsen er halvdelen af bæreevnen K.

logistisk vækst, simpel matematisk model for væksten af en population (fx af bakterier). Hvis en population har ubegrænset adgang til føde og ingen dødelighed, vil dens væksthastighed være proportional med populationens størrelse, og væksten vil være eksponentiel. En sådan ubegrænset vækst er ikke realistisk.

Den logistiske vækstmodel tager højde for, at omgivelserne indvirker på væksten, så væksthastigheden aftager, når populationsstørrelsen nærmer sig en øvre grænse K, bæreevnen. Modellen kan formuleres som differentialligningen

hvor N er størrelsen af populationen, t er tiden, og r (den indre vækstrate) et mål for, hvor hurtigt populationen når sin øvre grænse. Denne logistiske ligning blev først indført af den belgiske statistiker P.F. Verhulst (1804-49). Den har løsningen
hvor N₀ er populationens størrelse til t = 0. Løsningen beskriver en jævn, S-formet kurve, der, som tiden går, nærmer sig K.

Modellen ovenfor beskriver en population, hvor der er et betydeligt overlap mellem generationerne, og vækstkurven derfor er kontinuert. I modsætning hertil har fx nogle insekter kun én voksen generation om året. De skal derfor beskrives ved en differensligning:
hvor N_i er størrelsen af populationen i den i'te generation. Overraskende nok har denne ligning langt mere varierede løsninger end den logistiske ligning, og når r bliver tilstrækkelig stor, er løsningen ligefrem kaotisk (se kaos) som første gang vist af R.M. May i 1974.