række

© Dette billede må du ...

 

række, i matematik summen af en endelig eller uendelig følge af tal a₁, a₂, ... . Rækken betegnes a₁+a₂+ ∙∙∙ eller , hvor summationstegnet er det græske bogstav sigma. Ved sumtegnet skrives nederst og øverst grænserne, der angiver, hvorfra og hvortil der skal summeres. Den øvre grænse er ∞, hvis rækken er uendelig; grænserne udelades ofte, hvis de fremgår af sammenhængen.

Hvis en rækkes led opfylder a_n+1−a_n = d, taler man om en differensrække, og hvis a_n+1/a_n = q, taler man om en kvotientrække.

Summen af endeligt mange tal er veldefineret, men når der er uendelig mange tal, må rækkens sum nøjere defineres. Hvis man fx deler et linjestykke af længde 1 i to lige store stykker, deler det ene af dem i to lige store stykker og fortsætter således, er det nærliggende at sige, at den uendelige række ¹/₂+¹/₄+¹/₈+ ∙∙∙ har summen 1 som udtryk for, at længden af linjestykket er summen af længderne af alle delene. Derimod er det uklart, hvilken sum rækken 1−1+1−1+ ∙∙∙ skal tillægges, idet summen af de første led er skiftevis 0 og 1. Sådanne overvejelser har ledt til følgende begreber: Den uendelige række kaldes konvergent med sum s, hvis følgen af afsnit s_n = a₁+ ∙∙∙ +a_n har grænseværdiens, når n går mod uendelig. Betegnelsen bruges da også for tallet s. Hvis rækken ikke er konvergent, kaldes den divergent. Således er rækken 1−1+1−1+ ∙∙∙ divergent. Som et vigtigt eksempel kan endvidere nævnes, at rækken er konvergent, når c > 1, og divergent, når c ≤ 1 (jf. harmonisk række).

For rækker a_n, b_n med positive led gælder sammenligningskriteriet: Hvis a_n ≤ b_n for alle n > N, så vil konvergens af b_n medføre konvergens af a_n.

En uendelig række a_n kaldes absolut konvergent, hvis rækken |a_n| er konvergent. En sådan række er automatisk konvergent, men fx er rækken 1−¹/₂+¹/₃− ∙∙∙ konvergent (med sum ln 2) uden at være absolut konvergent.

Leddene i en række kan også være funktioner a_n = f_n(x). Man taler da om en funktionsrække og studerer den ved summen fremstillede funktion S(x) = f_n(x). Særlig vigtige eksempler på funktionsrækker er potensrækker og Fourierrækker (se Fourieranalyse).

Uendelige rækker har spillet en vigtig rolle i matematik siden 1600-t. Indtil 1800-t. blev der ikke skelnet skarpt mellem konvergente og divergente rækker. I et brev fra 1826 kalder N.H. Abel divergente rækker for Djævelens opfindelse og afviser at udnytte dem. Efter A.L. Cauchys og K. Weierstrass' præcisering af analysens grundlag i 1800-t. er rækkelæren blevet stringent begrundet, og visse divergente rækker har fundet vigtige anvendelser gennem summabilitetsteori.