gyldne snit

Verificeret
Artiklens indhold er godkendt af redaktionen.

Gyldne snit. Diagonalerne i en regulær femkant deler hinanden i det gyldne snit. De fem diagonaler danner i midten en ny regulær femkant osv. Denne uendelige følge af femkanter var med til at overbevise pythagoræerne om, at linjestykker er delelige i det uendelige.

gyldne snit, delingen af et linjestykke AB i to stykker AC og CB, så forholdet mellem hele linjestykket og det største stykke er det samme som forholdet mellem det største og det mindste stykke: AB/AC = AC/CB, dvs. AC er mellemproportional til CB og AB. Da AB = AC+CB, følger det, at forholdet φ = AC/CB (det gyldne forhold) opfylder andengradsligningen φ2φ = 1, hvorfor φ er

56970.301.jpg

En konstruktion af snittet findes i Euklids Elementer II.11 og benyttes i IV.10-11 til at konstruere en regulær femkant. Forholdet mellem diagonalen og siden i en regulær femkant er nemlig det gyldne forhold, ligesom diagonalerne deler hinanden i dette forhold. De fem diagonaler danner i midten en ny regulær femkant, hvis diagonaler danner en ny femkant osv. Denne uendelige rekursion var med til at få pythagoræerne til at indse, at diagonalen og siden er inkommensurable eller med en moderne sprogbrug, at φ er et irrationalt tal. Det afspejles også i kædebrøksudviklingen:

56970.401.jpg

Ved udregning af kædebrøken finder man approksimanterne,

56970.402.jpg

der viser, at det gyldne snit kan tilnærmes ved forholdet mellem to successive Fibonaccital.

Det gyldne snit. Dette rektangel er et gyldent rektangel, dvs. et rektangel, hvor forholdet mellem siderne er det gyldne forhold. Punktet C deler linjen AB i det gyldne snit, ligesom E deler AD, og G deler DF i dette forhold, osv. Kurven, der går gennem alle disse gyldne snit, er en logaritmisk spiral. Denne spiral genfindes i den gennemskårne nautilskal.

Navnet det gyldne snit kan spores tilbage til den tyske matematiker Martin Ohm (1792-1872) i 1835; astronomen Johannes Kepler talte om divina proportio 'det guddommelige forhold'; på græsk er navnet det yderste og mellemste forhold. Et særligt dansk ord er højdeling.

Det gyldne snit og harmoniske proportioner

Det gyldne snit spillede en stor rolle i antikkens arkitektur og billedkunst. Det indgik undertiden i tempelarkitekturen — Parthenons facade kan indskrives i et gyldent rektangel — og i den ideale menneskefigur, som bl.a. billedhuggeren Polyklet arbejdede med; her deler navlen figurens højde i det gyldne snit. Dette snit indgår også i den femtakkede stjerne, pentagrammet, som man mener har været pythagoræernes emblem.

I renæssancen anså man proportioner, hvori det gyldne snit indgik, som udtryk for den guddommelige orden; i 1509 udgav matematikeren Luca Pacioli De Divina Proportione ('Om den guddommelige proportion'). Det gyldne snit anvendtes af malere som Piero della Francesca, Sandro Botticelli, Albrecht Dürer og Nicolas Poussin samt af arkitekter som Andrea Palladio. I 1900-t. har fx Piet Mondrian, Le Corbusier og Bauhaus-designerne brugt det gyldne snit, som ikke blot fungerer formelt æstetisk, men også ofte understreger betydningsbærende elementer i billeder, skulpturer eller bygninger.

Sandro Botticelli Bebudelsen, malet 1489-90; Uffizierne, Firenze. Pilene angiver det gyldne snits delinger af billedets bredde og højde. De lodrette delinger falder sammen med væsentlige billedelementer: th. Marias hånd, der modtager englen Gabriels budskab, accentueret af dørkarmens profil, tv. det slanke træ i landskabet udenfor, der kan ses som både livets træ og som et symbol for det kors, hvorpå Jesus senere døde. I den øverste vandrette deling er placeret Marias venstre hånd og Gabriels hvide liljeblomster, symbolet på kyskhed.

Fibonaccitallene (talrækken 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 osv.), der som nævnt ovenfor er nært knyttet til det gyldne snit, indgår i den regelmæssigt opbyggede struktur i grankogler, solsikkeblomster og ananasfrugter, i bladstillingen hos flere planter samt i sneglehuse og nautilskaller. Talrækken har også - især indtil 1600-tallet - dannet grundlag for den typografiske udformning af bøger - bl.a. ved bogmarginernes proportionering med en smal indermargin (3), en lidt bredere overmargin (5), en endnu bredere ydermargin (8) og en meget bred undermargin (13). Endvidere til udformningen af bl.a. digte og musikalske kompositioner som fx Inger Christensens Alfabet (1981) og Pelle Gudmundsen-Holmgreens Tricolore 1 (1966, uropført 1991). Se også proportion.

 

Find bøger

   
   Find Lydbøger
hos Storytel
   Find bøger
bogpriser.dk
   Studiebøger
pensum.dk
   Læs e-bøger
hos Ready

 

© Dette billede må du ...

Gyldne snit. Sandro Botticelli Bebudelsen, malet 1489-90; Uffizierne, Firenze. Pilene angiver det gyldne snits delinger af billedets bredde og højde. De lodrette delinger falder sammen med væsentlige billedelementer: th. Marias hånd, der modtager englen Gabriels budskab, accentueret af dørkarmens profil, tv. det slanke træ udenfor i landskabet, der kan ses som både livets træ og som et symbol for det kors, hvorpå Jesus senere døde. I den øverste vandrette deling er placeret Marias venstre hånd og Gabriels hvide liljeblomster, symbolet på kyskhed.

© Dette billede må du ...

Sandro Botticelli Bebudelsen, malet 1489-90; Uffizierne, Firenze. Pilene angiver det gyldne snits delinger af billedets bredde og højde. De lodrette delinger falder sammen med væsentlige billedelementer: th. Marias hånd, der modtager englen Gabriels budskab, accentueret af dørkarmens profil, tv. det slanke træ i landskabet udenfor, der kan ses som både livets træ og som et symbol for det kors, hvorpå Jesus senere døde. I den øverste vandrette deling er placeret Marias venstre hånd og Gabriels hvide liljeblomster, symbolet på kyskhed.

Viser 2 af 2 billeder | Tilbage til billedgalleri

Filer

FilTilføjet af 
[+284956.801.svg (2.15 kB)

Gyldne snit. Konstruktion af det gyldne snit. For at dele linjestykket AB i det gyldne snit tegnes først en retvinklet trekant (ABO) med kateterne AB og AB/2 (her 2 og 1). Med en passer afsættes punktet E, så OE = OB, og derefter punktet C, så AC = AE. C deler da AB i det gyldne snit. Kvadratet på det største stykke (ACDE) er lige så stort som det rektangel, hvis sider er det mindste stykke og hele linjestykket (GCBH). Hvis det største stykke føjes til hele linjen, fås et nyt linjestykke (FE), som også er delt i det gyldne snit, med den oprindelige linje som det største stykke.

Admin

05/02/2009

[+309448256.801.svg (4.8 kB)

Det gyldne snit. Deling af linjestykket AB i det gyldne snit: En retvinklet trekant tegnes med AB som den ene katete og den halve længde som den anden. Punktet D afsættes på hypotenusen i samme afstand fra C som A, og punktet E afsættes på kateten AB i samme afstand fra B som D. Punktet E deler AB i det gyldne snit. Rektanglet i den nederste figur har kantlængder i det gyldne forhold.

Admin

05/02/2009

[+350329.801.svg (119.88 kB)

Gyldne snit. Dette rektangel er et gyldent rektangel, dvs. et rektangel, hvor forholdet mellem siderne er det gyldne forhold. Punktet C deler linjen AB i det gyldne snit, ligesom E deler AD, og G deler DF i dette forhold, osv. Kurven, der går gennem alle disse gyldne snit, er en logaritmisk spiral. Denne spiral genfindes i den gennemskårne nautilskal.

Admin

05/02/2009

[+350330.801.svg (529.46 kB)

Gyldne snit. Sandro Botticelli Bebudelsen, malet 1489-90; Uffizierne, Firenze. Pilene angiver det gyldne snits delinger af billedets bredde og højde. De lodrette delinger falder sammen med væsentlige billedelementer: th. Marias hånd, der modtager englen Gabriels budskab, accentueret af dørkarmens profil, tv. det slanke træ udenfor i landskabet, der kan ses som både livets træ og som et symbol for det kors, hvorpå Jesus senere døde. I den øverste vandrette deling er placeret Marias venstre hånd og Gabriels hvide liljeblomster, symbolet på kyskhed.

Admin

05/02/2009

[+366272.801.svg (2.02 kB)

Gyldne snit. Diagonalerne i en regulær femkant deler hinanden i det gyldne snit. De fem diagonaler danner i midten en ny regulær femkant osv. Denne uendelige følge af femkanter var med til at overbevise pythagoræerne om, at linjestykker er delelige i det uendelige.

Admin

05/02/2009

Nyhedsbrev

Om artiklen

Seneste 3 forfattere
Redaktionen
23/11/2010
Marie-Louise Hammer
19/11/2010
Redaktionen
14/03/2010
Oprindelige forfattere
BF
30/01/2009
CMTai
30/01/2009
JLut
30/01/2009
LGot
30/01/2009

© Gyldendal 2009-2014 - Powered by MindTouch Deki