homomorfi

homomorfi, (af homo- og -morfi, dvs. 'ensartethed i form'), speciel afbildning, der benyttes i algebraiske grene af matematikken til at føre egenskaber ved afbildningens definitionsmængde over til dens billedmængde. Fx kaldes en afbildning f :G↷G′ fra én gruppeG til en anden G′ en homomorfi, når f (a∗b) = f (a)∗′f (b) (hvor ∗ og ∗′ er kompositionsreglerne i G og G′) for alle a og b i G. I så fald fører f det neutrale element i G over i det tilsvarende i G′ og det inverse element a^-1 i G over i det inverse element f (a)^-1 i G′; endvidere er billedmængden f (G) en undergruppe af G′, og hvis G er kommutativ, da er f (G) det samme. Betragtes eksponentialafbildningen a↷e^a og kvadreringsafbildningen a↷a² fra de reelle tals gruppe (R,+) til de positive reelle tals multiplikative gruppe (R₊,∙), da er den første en homomorfi (da e^a+b = e^a∙e^b for alle a og b), hvorimod den anden ikke er det (da fx (1+2)² = 9, mens 1²∙2² = 4). En endomorfi er en homomorfi fra G til G; den kaldes en automorfi, hvis den er bijektiv (jf. afbildning).

Andre algebraiske strukturer end grupper har også homomorfier; fx er en homomorfi f :V↷V′ mellem vektorrum blot en (additiv) gruppehomomorfi, der harmonerer med multiplikation med skalarer: f (rv) = rf (v) for alle v i V og r i grundlegemet; den kaldes ofte en lineær afbildning.