reelle tal

© Dette billede må du ...

Reelle tal. Mængden af reelle tal er ikke numerabel, dvs. kan ikke nummereres vha. tallene 1, 2, 3, ... . Dette blev vist af Georg Cantor i 1873. Mere præcist viste han, hvordan man for enhver følge r1, r2, r3, ... af reelle tal mellem 0 og 1 kan angive et reelt tal r, som ikke forekommer i følgen. Det gøres ved at skrive decimalfremstillingerne af følgens tal op som vist på illustrationen og definere tallet r = 0,d1d2d3..., hvor dn = 1, hvis dnn = 2, og dn = 2, hvis dnn ≠ 2. Denne definition gør den n'te decimal i r forskellig fra den n'te decimal i rn, og følgelig er r ≠ rn for alle n. Dette kaldes Cantors diagonalargument.

reelle tal, det system af tal, som matematikken tilbyder som grundlag for en kvantitativ beskrivelse af virkeligheden. Anvendeligheden af reelle tal ved målinger illustreres ofte ved en tallinje: svarende til tallene 0 og 1 vælges et begyndelsespunkt og et enhedspunkt på linjen; herefter svarer de reelle tal til punkterne på linjen. På linjen afsættes det rationale tal a/s ved a gange at afsætte det linjestykke, der fås ved at dele intervallet fra 0 til 1 i s lige store stykker. At der herefter på tallinjen efterlades "huller" mellem de rationale tal, dvs. punkter svarende til irrationale tal, blev allerede opdaget før vor tidsregning af græske matematikere. De viste fx, at , der er længden af diagonalen i enhedskvadratet, ikke svarer til et rationalt tal.

De reelle tal, både rationale og irrationale, kan repræsenteres ved (uendelige) decimalbrøker. Fx modsvarer decimalfremstillingen 1,732... af, at man kan komme til på tallinjen ved først at afsætte punktet svarende til 1, dernæst 7 gange et stykke af længde ¹/₁₀, dernæst 3 gange et stykke af længde ¹/₁₀₀, dernæst 2 gange et stykke af længde ¹/₁₀₀₀ osv. Denne uendelige proces er naturligvis et teoretisk tankespind, og det skal understreges, at i praksis, ved målinger og beregninger på computer, repræsenteres reelle tal ved tilnærmede rationale værdier.

Med sædvanlig addition og multiplikation udgør de reelle tal et legeme, betegnet R. Dette legeme er, med sædvanlig ordning, et kontinuum, dvs. et område uden huller. Denne helt fundamentale egenskab ved de reelle tal betyder, at enhver Cauchyfølge af reelle tal er konvergent.

De reelle tal er det teoretiske fundament for matematiske begreber som kontinuert funktion og grænseværdi og dermed for differential- og integralregning, men fundamentet er udviklet langt senere end de afledte begreber. En egentlig konstruktion af de reelle tal blev først givet i anden halvdel af 1800-t. af K. Weierstrass, G. Cantor og R. Dedekind.