ringteori

ringteori, matematisk teori for ringe, påbegyndt af bl.a. D. Hilbert i slutningen af 1800-t. og videreført af bl.a. E. Noether gennem studier af ringenes idealer, dvs. delmængder, der er moduler. Senere blev der fokuseret mere på samtlige moduler, gerne med anvendelse af homologisk algebra.

En ring R, der er et integritetsområde (se ring), kaldes et hovedidealområde, når der til ethvert ideal I findes et a i R, så I netop består af elementerne ra med r i R. Et eksempel er ringen Z af hele tal. Ethvert hovedidealområde er en Dedekind-ring. R kaldes faktoriel, når ethvert element a ≠ 0 entydigt (på nær rækkefølge og multiplikation med invertible elementer) kan skrives som produkt af irreducible elementer. Et helt, positivt tal er irreducibelt, netop hvis det er et primtal, og det følger heraf, at Z er faktoriel. Faktisk er alle hovedidealområder faktorielle. Polynomiumsringen (se polynomium) L[X,Y] over legemet L er faktoriel, men ikke et hovedidealområde.

Hvis I er ideal i ringen R, kan man danne restklasseringenR/I. Hvis B er en passende delmængde af R, da kan man danne brøkringenB⁻¹R bestående af alle brøker a/b med a i R og b i B. Fx er de rationale tal Q brøkringen for Z, når B består af alle positive hele tal.