tal

Verificeret
Artiklens indhold er godkendt af redaktionen.

Indholdsfortegnelse

tal, matematisk begreb, som ikke blot omfatter de naturlige tal 1,2,3, ... , men også de successive udvidelser til alle hele tal ... ,−3,−2,−1,0,1,2,3, ... , videre til de rationale tal, dvs. tal, der kan skrives som brøk, fx 8/6 = 4/3, -8/6 = −4/3 og 2/1 = 2, og endelig til de reelle og de komplekse tal.

Ved hver udvidelse udstrækkes regneoperationerne addition '+' og multiplikation '∙' såvel som ordningen '≤' til det nye område på en sådan måde, at gængse regneregler bevares, fx den distributive lov a(b+c) = ab+ac og reglen, at a+c ≤ b+c når a ≤ b. Man må dog give afkald på ordning af de komplekse tal.

Ved udvidelsen fra naturlige til hele tal opnås, at subtraktion altid er mulig, fx er 2−5 = −3, idet −3+5 = 2. Ved den videre udvidelse til rationale tal opnås, at division altid er mulig, bortset fra division med 0, fx er 1/2 :4/3 = 3/8, idet 3/84/3 = 56639.301.jpg = 1/2. Udvidelsen til reelle tal giver et talområde, der tillader grænseovergange (se grænseværdi) og dermed kan bære differential- og integralregning. Hver gang er udvidelsen den mindst mulige.

Illustreres de hele tal på en orienteret ret linje ved punkter med fast afstand, får også hvert rationalt tal sit tilsvarende punkt. Fx fås punktet svarende til 7/3 = 21/3 ved hjælp af en tredeling af stykket fra 2 til 3. Men alle punkter på tallinjen kommer først med ved udvidelsen til reelle tal.

Et reelt tal, der ikke er rationalt, kaldes irrationalt. Et eksempel er 56639.302.jpg, som dog er algebraisk, dvs. rod i en algebraisk ligning med rationale koefficienter, nemlig x2−2 = 0. Tal, der ikke er algebraiske, kaldes transcendente. Eksempler er e og π (pi).

Med tilføjelsen af de irrationale tal er alle "huller" på tallinjen fyldt. Ved den videre udvidelse går man så uden for tallinjen: De komplekse tal svarer til punkterne i en plan, den komplekse plan. De nytilkomne tal kaldes imaginære. Ved udvidelsen opnås, at roduddragning altid er mulig. Fx har ligningen x2 = −1 to rødder, betegnet i og −i, som så begge er værdier af56639.303.jpg. Der gælder endda, at enhver algebraisk ligning har rødder (algebraens fundamentalsætning).

Udvidelse af de komplekse tal med bevarelse af alle gængse regneregler er ikke mulig. Der findes dog en udvidelse, hvor der blot er givet afkald på den kommutative lov ab = ba ; se kvaternioner.

Mængderne af naturlige, hele, rationale, reelle og komplekse tal betegnes hhv. N, Z, Q, R og C, efter N. Bourbaki. Udvidelse af de naturlige tal i en ganske anden retning tager udgangspunkt i deres anvendelse til angivelse af antal (kardinaltal) eller plads i en rækkefølge (ordinaltal). Den naturlige talrække fortsættes i første tilfælde med transfinite kardinaltal til angivelse af mægtighed af uendelige mængder, i det andet med transfinite ordinaltal til nummerering af elementerne i velordnede mængder, hvor de naturlige tal ikke slår til. Se også mængdelære.

Mængderne N, Z og Q såvel som mængden af algebraiske tal har alle det mindste transfinite kardinaltal ℵ0, mens R og C såvel som mængderne af irrationale, hhv. transcendente tal alle har samme, større kardinaltal ℵ.

Se også p-adisk tal.

Historie

Den historiske udvikling af talbegrebet har ikke fulgt de successive udvidelser ovenfor, specielt er negative tal en sen tilføjelse. Første skridt videre fra naturlige tal var således positive brøker (Egypten og Babylonien før 1800 f.Kr.), fulgt af en vis ukritisk inddragelse af positive reelle tal knyttet til rationale tilnærmelser, fx af 56639.302.jpg (Babylonien omkring 1700 f.Kr.).

Før midten af 1800-t. var det kun græske matematikere, der nåede dybere i en periode efter matematikkens fødsel som teoretisk videnskab i 400-t. f.Kr. For dem blev det en skelsættende opdagelse, at forholdet mellem diagonal og side i et kvadrat (vi ville sige 56639.302.jpg) ikke kan udtrykkes ved nogen brøk. Det bragte tal i miskredit som utilstrækkelige, men førte også til udvikling af en genial lære om forhold (Eudoxos omkring 360 f.Kr.), der svarer til en lære om de positive reelle tal.

Negative tal var kendt i Indien omkring 600. Via araberne dukkede de endelig op i Europa omkring 1500, i begyndelsen dog som "absurde" eller "fiktive" tal, og fuld accept fik de først hen i 1600-t., nok gennem deres repræsentation på tallinjen.

Imaginære tal som 56639.304.jpg dukkede op hos italienske algebraikere i midten af 1500-t. ved indsættelse i Cardanos formel for rødderne i en tredjegradsligning. De var dog hyllet i mystik, indtil den geometriske repræsentation af de komplekse tal, den komplekse plan (indført af Caspar Wessel og C.F. Gauss omkring 1800), blev kendt.

Med den stadig øgede præcision af begreber og ræsonnementer i matematisk analyse gennem 1800-t. føltes en solid fundering af de reelle tal omsider påkrævet, og egentlige konstruktioner fulgte ved K. Weierstrass omkring 1860, G. Cantor i 1872 og R. Dedekind i 1872.

Læs også om tal i Nordisk Mytologi.

 

Find bøger

   
   Find Lydbøger
hos Storytel
   Find bøger
bogpriser.dk
   Studiebøger
pensum.dk
   Læs e-bøger
hos Ready

 

Hvad er et tag? Tags er artiklens nøgleord. Artikler med et fælles tag findes ved at klikke på tagget. Når du er logget ind, kan du tilføje tags og dermed skabe sammenhænge.
Nyhedsbrev

Om artiklen

Seneste forfatter
Redaktionen
25/03/2009
Oprindelig forfatter
Gut
02/02/2009

© Gyldendal 2009-2014 - Powered by MindTouch Deki